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1可化为bn?1?3?(bn?3)，
2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以为公比的等
1111比数列，因此bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，
222212得
2111an?()n?()n?。
3423八、逐差法2（逐项相减法） 1、递推公式中既有Sn，又有an
?S1,n?1a?分析：把已知关系通过n?转化为数列?an?或Sn的递推关系，然
S?S,n?2n?1?n后采用相应的方法求解。
1例13 已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn?(an?1)(an?2)，
6且a2,a4,a9成等比数列，求数列{an}的通项公式。
1解：∵对任意n?N?有Sn?(an?1)(an?2) ⑴
61∴当n=1时，S1?a1?(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2
61当n≥2时，Sn?1?(an?1?1)(an?1?2) ⑵
6⑴-⑵整理得：(an?an?1)(an?an?1?3)?0 ∵{an}各项均为正数，∴an?an?1?3
2当a1?1时，an?3n?2，此时a4?a2a9成立
2当a1?2时，an?3n?1，此时a4?a2a9不成立，故a1?2舍去
所以an?3n?2
练习。已知数列{an}中, an?0且Sn?1(an?1)2,求数列{an}的通项公式. 2答案：Sn?Sn?1?an (an?1)2?(an?1?1)2 an?2n?1 2、对无穷递推数列
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例14 已知数列{an}满足a1?1，an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2) 故
an?1?n?1(n?2) an①
②
所以an?anan?1an!??L?3?a2?[n(n?1)?L?4?3]a2?a2. an?1an?2a22③
由an?a1?2a2?3a3?L?(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5?L?n?所以，{an}的通项公式为an?
n!. 2n!。 2数列的通项公式与求和
练习1
1 数列{an}的前n项为Sn,且a1?1，an?1?Sn(n?1,2,3,L)3(1)求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.(2)求a2?a4?L?a2n
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练习2 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1?1，an?1?Sn}是等比数列;n(2)Sn?1?4an(1)数列{
练习 3 已知数列{an}的前n项为Sn，Sn?n?2Sn(n?1,2,L).证明:n
1(an?1)(n?N*)3(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.
11 已知数列{an}满足a1?,an?1?an?2,求an.练习4 2n?n
2n 已知数列{a}满足,a?,a?an,求an.练习5 n1n?13n?1
511 已知数列{an}中,a1?,an?1?an?()n?1,求an.632 练 习6
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练习 7 已知数列{a}满足:a?nn
练 8 若等比数列
an?1，a1?1,求数列{an}的通项公式.3?an?1?1
{an}的前n项和S
ｎ
＝2ｎ－１，则
222a12?a2?a3???an
5n(10?1) 练习9 求和：5，55，555，5555，…，9，…；
111??L? 练习10 求和：
1?44?7(3n?2)?(3n?1)
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