高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案

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方法2:待定系数法 通过凑配可转化为 解题基本步骤: 1、确定f(n)=kn+b 2、设等比数列3、列出关系式

bn?(an?xn?y)(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y);

,公比为p

,即

bn?pbn?1(an?xn?y)?p(an?1?x(n?1)?y)

4、比较系数求x,y 5、解得数列

(an?xn?y)的通项公式

a6、解得数列?n?的通项公式 例7 在数列

{an}中,

a1?1,an?1?3an?2n,求通项an.(逐项相减法)

a?3an?2n,解:?,n?1 ① ?n?2时,an?3an?1?2(n?1),

两式相减得

an?1?an?3(an?an?1)?2.令

bn?an?1?an,则

bn?3bn?1?2

n?1n?1b?5?3?2a?a?5?3?1 ② n利用类型5的方法知n 即 n?1再由累加法可得

an?an?5n?11?3?n?22. 亦可联立 ① ②解出

5n?11?3?n?22.

练习. 在数列{an}中,解:原递推式可化为

a1?3,2an?an?1?6n?32,求通项an.(待定系数法)

2(an?xn?y)?an?1?x(n?1)??y2bn?bn?1比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以?bn?是一个等比数列,首项

1991?bn?()n?12,公比为2.22

b1?a1?6n?9?第 9 页 共 21 页

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1an?6n?9?9?()n2 即:

1an?9?()n?6n?92故.

5.形如an?2?pan?1?qan 时将an作为f(n)求解

分析:原递推式可化为an?2??an?1?(p??)(an?1??an) 的形式,比较系数可求得?,数列?an?1??an?为等比数列。 例8 已知数列解:设

{an}满足

an?2?5an?1?6an,a1??1,a2?2,求数列

{an}的通项公式。

an?2??an?1?(5??)(an?1??an)

比较系数得???3或???2,不妨取???2,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同) 则

an?2?2an?1?3(an?1?2an)a?2an?,则?n?1是首项为4,公比为3的等比数列

?an?1?2an?4?3n?1,所以an?4?3n?1?5?2n?1

a?4an?1?3an?0练习1.数列{an}中,若a1?8,a2?2,且满足n?2,求an.

na?11?3n答案: .

1a?1,a?an(4?an),n?Nn?1{an}的各项都是正数,且满足:02练习2.已知数列, 求数列

{an}的通项公式an.

解:

an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],2(an?1?2)??(an?2)222所以

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222又

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1n1nbn??()2?1,即an?2?bn?2?()2?122bn=-1,所以.

方法2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:设cnn???bn,则

c

12cn?12,转化为上面类型(1)来解

五、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例9 已知数列{an}满足an?1?2an,a1?1,求数列{an}的通项公式。 an?2解:求倒数得

111111?11?1首项?1,??,???,????为等差数列,

an?12anan?1an2?an?1an?a1公差为

1121,??(n?1),?an?

an2n?12ra?0a?pan?1n六、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0,n 2??an?的通项公an?a?2aa?1nn?1(n≥2).求数列1例10. 设正项数列满足,

式.

anaaanan?1b?loglog?1?2(log?1)log?1?2logn2?1,22解:两边取对数得:2,2,设

nn?1则

bn?2bn?11?bn?b?log12?1?1 是以2为公比的等比数列,

n?12ann?1n?1na?2bn?1?2n?1?2n?1,logalog?2?1n2?1?22,,∴

?1

练习 数列

?an?中,a1?1,an?22?nan?1(n≥2),求数列

?an?的通项公式.

2?2a?2n答案:

5例11 已知数列{an}满足an?1?2?3n?an,a1?7,求数列{an}的通项公式。 5,a1?7,所以an?0,an?1?0。 解:因为an?1?2?3n?an第 11 页 共 21 页

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两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2

设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) (同类型四)

lg3lg3lg2,y?? 4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2由lga1??1???lg7??1???0,得

41644164lg3lg3lg2lgan?n???0,

4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2??所以数列{lgan?为首项,以5为公比n??}是以lg7?41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1的等比数列,则lgan?n???(lg7???)5,因此

41644164比较系数得, x?lgan?(lg7?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2??)5?n??41644641411614n?1?[lg(7?3?3?2)]5?lg(7?3?3?2)?lg(75n?1?3则an?75?3

n?1?lg(3?3?2)n411614n411614141161n?145

?lg(3?3?2))5n?4n?116?25n?1?145n?4n?116?25n?1?14。

七、换元法 适用于含根式的递推关系 例12 已知数列{an}满足an?1?公式。

解:令bn?1?24an,则an?代入an?1?12(bn?1) 241(1?4an?1?24an),a1?1,求数列{an}的通项161(1?4an?1?24an)得 1612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 24162422即4bn ?(b?3)?1n因为bn?1?24an?0,

13则2bn?1?bn?3,即bn?1?bn?,

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