高中数学求数列通项公式及求和的方法总结教案练习答案
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生教
案
数列求通项公式的方法
一、叠加法
1．适用于：an+1=an+f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的两个方法之一。
2．若an?1?an?f(n)(n?2)，
a2?a1?f(1)则
a3?a2?f(2)L Lan?1?an?f(n)
两边分别相加得 an?1?a1??f(k)
k?1n例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?L?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]?L?(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)?L?2?1]?(n?1)?1 (n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n2。
{an}an?0Sn?例2.已知数列中, 且
1n(an?)2an,求数列
{an}的通项公式.
Sn?解:由已知
1n(an?)2anSn?得
1n(Sn?Sn?1?)2Sn?Sn?1,
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222Sn?S12?2?3???nS?S?nnn?1化简有,由类型(1)有,
又S1?a1得a1?1,所以
an?2Sn?n(n?1)an?0sn?2,又,2n(n?1)2,
则
2n(n?1)?2n(n?1)2
*an??a?a?2n(n?N)写出数列?an?的通项n?1n练习1，已知数列的首项为1，且
公式.
2答案：n?n?1
练习2.已知数列
{an}满足a1?3，
an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公
式.
an?4?1n
答案：裂项求和
练习3. 已知数列?an?满足a1?
解：由条件知：an?1?an?11，an?1?an?2，求an。 2n?n1111??? 2n?nn(n?1)nn?1分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即
(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)
1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)
22334n?1n1所以an?a1?1?
n11131?a1?，?an??1???
22n2n
a?an?f(n)评注：已知a1?a,n?1，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次
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函数、指数函数、分式函数，求通项an.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
二、叠乘法
1.适用于： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若
an?1aaa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，LL，n?1?f(n) ana1a2annan?1两边分别相乘得，?a1??f(k)
a1k?1例3. 已知数列?an?满足a1?解：由条件知
2nan，求an。 ，an?1?3n?1an?1n?，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式ann?1得(n?1)个等式累乘之，即
aa2a3a4a123n?11??????????n????????????n? a1a2a3an?1234na1n又?a1?22，?an? 33n练习1.已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故an第 4 页 共 21 页