专题05 立体几何(选择题、填空题) -三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编(带解析)

【名师点睛】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角,未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法.

6.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为

A.217 C.3 【答案】B

B.25 D.2

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征,知点M在上底面上,点N在下底面上,且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为

,故选B.

【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.

7.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面?所成的角都相等,则?截

此正方体所得截面面积的最大值为 A.33 4B.23 3

C.32 4D.3 2【答案】A

【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的, 所以在正方体ABCD?A1B1C1D1中,

平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,

所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的, 同理,平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,

要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间,且过棱的中点的正六边形,且边

长为

2, 223?2?33???所以其面积为S?6?,故选A. ???4?2?4【名师点睛】该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结果.即首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果.

8.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

【答案】A

【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知,俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形.故选A.

9.【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是

211正视图2侧视图

俯视图A.2 C.6

B.4 D.8

【答案】C

【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱,高为2,底面为直角梯形,上、下底分别为1,2,梯形的高为2,因此几何体的体积为故选C.

【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.

1??1?2??2?2?6, 2C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角10.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A,B,形且其面积为93,则三棱锥D?ABC体积的最大值为 A.123 C.243 【答案】B

【解析】如图所示,设点M为三角形ABC的重心,E为AC中点,

B.183 D.543

当点D在平面ABC上的射影为M时,三棱锥D?ABC的体积最大,此时,OD?OB?R?4,

QS△ABC?23AB2?93,?AB?6,Q点M为三角形ABC的重心,?BM?BE?23,

34?Rt△OBM中,有OM?OB2?BM2?2,?DM?OD?OM?4?2?6,

1??VD?ABC?max??93?6?183,故选B.

3【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球,考查了勾股定理,三角形的面积公式和三棱锥的体积公式,判断出当点D在平面ABC上的射影为三角形ABC的重心时,三棱锥D?ABC体积最大很关键,由M为三角形ABC的重心,计算得到BM?难题型.

11.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB?BC?1,AA1?3,则异面直线AD1与

DB1所成角的余弦值为

2BE?23,再由勾股定理得到OM,进而得到结果,属于较31A.

5C.5 5B.D.5 62 2【答案】C

【解析】方法一:用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面,如图,则B1P∥AD1,连接DP,易求得DB1?DP=5,B1P?2,则?DB1P是异面直线AD1与DB1所成的角,

DB12?B1P2?DP25?4?55. ??由余弦定理可得cos?DB1P?2DB1?PB1545故选C.

方法二:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

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