专题05 立体几何（选择题、填空题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边
长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A．86? C．26? 【答案】D
【解析】解法一：QPA?PB?PC,△ABC为边长为2的等边三角形，?P?ABC为正三棱锥，
B．46? D．6?
?PB?AC，又E，F分别为PA，AB的中点，?EF∥PB，?EF?AC，又EF?CE，
CEIAC?C,?EF?平面PAC，∴PB?平面PAC，??APB??????PA?PB?PC?2，即R??P?ABC为正方体的一部分，2R?2?2?2?6，故选D．
64466,?V??R3?π??6?，2338
解法二：设PA?PB?PC?2x，E,F分别为PA,AB的中点，?EF∥PB，且EF?1PB?x，2Q△ABC为边长为2的等边三角形，?CF?3，
又?CEF?90?，?CE?3?x,AE?21PA?x， 2△AEC中，由余弦定理可得cos?EAC?作PD?AC于D，
x2?4??3?x2?2?2?x，
AD1x2?4?3?x21?，?， QPA?PC，\\D为AC的中点，cos?EAC??PA2x4x2x
12，?PA?PB?PC?2， ?2x2?1?2，?x2?，x?22又AB=BC=AC=2，?PA,PB,PC两两垂直，
?2R?2?2?2?6，?R?64466，?V??R3????6?，故选D. 2338
【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：?内两条相交直线都与?平行是?∥?的充分条件，由面面平行性质定理知，若?∥?，则?内任意一条直线都与?平行，所以?内两条相交直线都与?平行是?∥?的必要条件，故选B．
【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若a??,b??,a∥b，则?∥?”此类的错误．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则
B．α内有两条相交直线与β平行 D．α，β垂直于同一平面
A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线 【答案】B
【解析】如图所示，作EO?CD于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.
过M作MF?OD于F，连接BF，
Q平面CDE?平面ABCD，EO?CD,EO?平面CDE，?EO?平面ABCD，MF?平面ABCD，
?△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO?3,ON?1,EN?2，MF?35,BF?,?BM?7，?BM?EN，故选B． 22
【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V
柱体
=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体
的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是
A．158 C．182 【答案】B
B．162 D．324
【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为?故选B.
【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.
5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则 A．β<γ，α<γ
B．β<α，β<γ D．α<β，γ<β
4?6??2?6?3??3??6?162. 22??C．β<α，γ<α 【答案】B
【解析】如图，G为AC中点，连接VG，V在底面ABC的投影为O，则P在底面的投影D在线段AO上，过D作DE垂直于AC于E，连接PE，BD，易得PE∥VG，过P作PF∥AC交VG于F，连接BF，过D作DH∥AC，交BG于H，则???BPF,???PBD,???PED，结合△PFB，△BDH，△PDB
PFEGDHBD????cos?，即???； PBPBPBPBPDPD??tan?，即???，综上所述，答案为B. 在Rt△PED中，tan??EDBD均为直角三角形，可得cos??