§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质
注2 如定积分那样类似地可证明:函数f(x,y)在可求面积的D上可积的必要条件是它在D上有界. 设函数f(x,y)在D 上有界, T 为D 的一个分割, 它把D 分成n 个可求面积的小区域?1,?2,?,?n.令
Mi?supf(x,y)(x,y)??imi?infn(x,y)??if(x,y)(i?1,2,?,n).n作和式S(T)??Mi??i,s(T)??mi??i,它们分
i?1i?1别称为f(x,y)关于分割T 的上和与下和.
数学分析第二十一章重积分高等教育出版社§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质
二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质, 这里就不再重复. 下面列出有关二元函数的可积性定理,这里只证明其中的定理21.7.
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定理21.4f(x,y)在D 上可积的充要条件是:limS(T)?lims(T).T?0T?0定理21.5f(x,y)在D 上可积的充要条件是:对于任给的正数?,存在D 的某个分割T, 使得S(T)?s(T)??.定理21.6有界闭域D上的连续函数必可积.
定理21.7设f(x,y)是定义在有界闭域D 上的有界函数, 且其不连续点集E是零面积集.则f(x,y)在D 上可积.
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证 对任意??0,存在有限个矩形?不包含边界?覆盖了E，而这些矩形面积之和??.记这些矩形之并集为K,则D\\E是有界闭集?也可能是有限多个不交的有界闭区域的并?.设KID的面积为?K,则?K??.因f(x,y)在D\\E上连续,由定理21.5和定理21.6,存在D\\E上的分割T1???1,?2，L,?n?,使得S?T1??s?T1???.令T1???1,?2,L,?n，KID?，则T是D的一个分割.且S?T??s?T??S?T1??s?T1???K?K?????,其中?K,?分别是f(x,y)在KID上和在D上的振幅.由定理21.5，f(x,y)在D上可积.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社