浙教版2020年中考数学模拟试题及答案(含详解) (13)

24.(8.00分)如图,已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D在圆上,在CD的延长线上有一点F,使DF=DA,AE∥BC交CF于E. (1)求证:EA是⊙O的切线; (2)求证:BD=CF.

【分析】(1)根据等边三角形的性质可得:∠OAC=30°,∠BCA=60°,证明∠OAE=90°,可得:AE是⊙O的切线;

(2)先根据等边三角形性质得:AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由四点共圆的性质得:∠ADF=∠ABC=60°,

得△ADF是等边三角形,证明△BAD≌△CAF,可得结论. 【解答】证明:(1)连接OD, ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆, ∴∠OAC=30°,∠BCA=60°, ∵AE∥BC,

∴∠EAC=∠BCA=60°,

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°, ∴AE是⊙O的切线;

(2)∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°, ∵A、B、C、D四点共圆, ∴∠ADF=∠ABC=60°, ∵AD=DF,

∴△ADF是等边三角形, ∴AD=AF,∠DAF=60°,

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,

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即∠BAF=∠CAF, 在△BAD和△CAF中, ∵

∴△BAD≌△CAF, ∴BD=CF.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,等边三角形及外接圆,四点共圆等知识点的综合运用,属于基础题,熟练掌握等边三角形的性质是关键.

七、(本大题2个小题,每小题10分,满分20分)

25.(10.00分)如图,已知二次函数的图象过点O(0,0).A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3. (1)求该二次函数的解析式;

(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于N,当△ANM面积最大时,求M的坐标;

(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q.过A作AC⊥x轴于C,当以O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.

【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定B(6,0),然后设交点式求抛物线解析式;

(2)设M(t,0),先其求出直线OA的解析式为y=x,直线AB的解析式为y=2x

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﹣12,直线MN的解析式为y=2x﹣2t,再通过解方程组得N(t,t),

接着利用三角形面积公式,利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=?4?t﹣?t?t,然后根据二次函数的性质解决问题;

(3)设Q(m,m2﹣m),根据相似三角形的判定方法,当∽△COA,则|m2﹣m|=2|m|;当

=

=

时,△PQO

时,△PQO∽△CAO,则|m2﹣

m|=|m|,然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标. 【解答】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3, ∴B点坐标为(6,0),

设抛物线解析式为y=ax(x﹣6),

把A(8,4)代入得a?8?2=4,解得a=, ∴抛物线解析式为y=x(x﹣6),即y=x2﹣x; (2)设M(t,0),

易得直线OA的解析式为y=x, 设直线AB的解析式为y=kx+b, 把B(6,0),A(8,4)代入得∴直线AB的解析式为y=2x﹣12, ∵MN∥AB,

∴设直线MN的解析式为y=2x+n,

把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=﹣2t, ∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t,

,解得

解方程组得,则N(t,t),

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM =?4?t﹣?t?t

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=﹣t2+2t

=﹣(t﹣3)2+3,

当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0); (3)设Q(m,m2﹣m), ∵∠OPQ=∠ACO, ∴当

=

时,△PQO∽△COA,即

=

∴PQ=2PO,即|m2﹣m|=2|m|,

解方程m2﹣m=2m得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,28); 解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0(舍去),m2=﹣2,此时P点坐标为(﹣2,4); ∴当

=

时,△PQO∽△CAO,即

=

∴PQ=PO,即|m2﹣m|=|m|,

解方程m2﹣m=m得m1=0(舍去),m2=8(舍去),

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此时P点坐标为(2,﹣1); 综上所述,P点坐标为(14,28)或(﹣2,4)或(2,﹣1).

【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;灵活运用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.

26.(10.00分)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.

(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;

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