?xh?0.2,y?0,y?0.181,y?1?ey(1.0)01取计算并与准确解相比较。
10. 证明解y??f(x,y)的下列差分公式
yn?1?1h??1?yn??3yn??1)(yn?yn?1)?(4yn24
是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法：
??b1yn??1?b2yn??2). yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn12. 将下列方程化为一阶方程组：
y???3y??2y?0,1）y(0)?1,y?(0)?1;
y???0.1(1?y2)y??y?0,2）y(0)?1,y?(0)?0;
3）
x??(t)??xy??,y(t)??,r?x2?y2,33rr
x(0)?0.4,x?(0)?0,y(0)?0,y?(0)?2. 13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题
?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.
14. 对方程y???f(x,y)可建立差分公式
yn?1?2yn?yn?1?h2f(xn,yn),
试用这一公式求解初值问题
?y???1;??y(0)?y(1)?0,
验证计算解恒等于准确解
x2?xy(x)?.2
15. 取h=0.2用差分方法解边值问题
?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.
第六章 方程求根
21. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。
2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根xk满足精度
|f(xk)|?0.005时终止计算。
323. 为求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭
代公式。
22x?1?1/xk?1kx?1?1/x1），迭代公式；
23x?1?xk?1k2）x?1?x，迭代公式；
323）
x2?1x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法；
xk2) 用迭代法xk?1?(2?e)/10，取初值x0?0。
x5. 给定函数f(x)，设对一切x,f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围内0???2/M的任
?意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x。
6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a |??(x)|?k?1， 试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 3?7. 用下列方法求f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x＝1.87938524…，要求计算 结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取x0?1,x1?1.9； 3）用抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2。 8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。 9. 研究求a的牛顿公式 xk?1?证明对一切k?1,2,?,xk?1a(xk?),x0?0,2xk a且序列x1,x2,?是递减的。 10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f?(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2 ?收敛到?f??(x)/(2f?(x))，这里x为f(x)?0的根。 ??11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： ??x,x?0;f(x)??????x,x?0; 1) 23??x,x?0;f(x)??23??x,x?0. ?2) 3212. 应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程 f(x)?1?a?02x，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。 14. 应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和 k??nf(x)?1?a?0nnx，分别导出求a的迭代公式，并求 lim(na?xk?1)/(na?xk)2.15. 证明迭代公式 xk?1x(x?3a)?kk23xk?a 2?是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠近根x，求 lim(a?xk?1)/(a?xk)3.k?? 第七章 解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： ?0.4096x1?0.1234x2?0.2246x?0.3872x?12??0.3645x1?0.1920x2??0.1784x1?0.4002x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;?0.2786x3?0.3927x4??0.2557; (a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为 ?a11??0证明A2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： T?a1?A2? ?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127;??0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321;??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123? 4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当?i?0(i?1,2,?,n?1)时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n),6. 设A 为n阶矩阵，如果 j?1j?in称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵， 经过高斯消去法一步后，A具有形式 ?a11??0T?a1?A2?。 7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 ?a11??0A?(aij)n,A2?(aij其中 (2)T?a1?A2?， )n?1; 证明 （1）A的对角元素aii?0(i?1,2,?,n); （2）A2是对称正定矩阵； (n)a?aii,(i?1,2,?,n); n（3） （4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n （6）从（2），（3），（5）推出，如果 |aij|?1，则对所有k (k)|aij|?1. 8. 设Lk为指标为k的初等下三角阵，即 ?1????1Lk??mk?1,k????mnk???????1????1??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） ~L?IijLkIij也是一个指标为k的初等下三角阵，其中Iij为初等排列阵。 求证当i,j?k时，k9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。 (a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。 ?111. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵； （b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 T