x?yA??Lx2?2(Lx,Ly)?Ly2???Lx2?2Lx???1212221222Ly2?Ly2??212?(Ax,x)?(Ay,y)?xA?yA，故xA是Rn上的向量范数。
lim(?xi)p??i?1np1/p22． 23．
?maxxilim(?(xi/maxxi)p)1/p?maxxi?x1?i?np??i?11?i?n1?i?nn?。
T充分性：若有x和y线性相关且xy?0， 即x?ky(k?0)，代入得
x?y2?(1?k)y?x?y222；唯一性：若有x?y2?x2?y2，由于
x?y2?xTx?2xTy?yTy?xTx?yTy?x2?y2，两边同时平方可得出xTy?0，
TTTxy?xxyy，当且仅当x和y线性相关时等号成立。 消去共同项可得
24． 2以上图像分别为x1?1，xA'?max25．
y'?0?1，xPAyPy??1。 PAP?1xx?PAP?1。
Ay'y'?maxPy?0?maxx?026． 由向量范数的相容性可知存在常数a1,a2?0，使得a1xs?xt?a2xs，于是令
c1?a1/a2>0，c2?a2/a1>0，则对任意A?Rn?n，均有不等式c1As?maxxs?0a1Axa2xss?maxxt?0Axxtt?At?maxxs?0a2Axa1xss?c2As。
TTTT???(AA)?x?0,AAx??x,AA(Ax)??Ax???(AA)即27． 若，则就有，可推出
TTTT?(ATA)??(AAT)，?(AA)??(AA)?(AA)??(AA)。同理可以推出，综合这两点即可得
28． 29．
1A?1?1/max?x??0A?1xx???min?1?x??Ax?0A?1x?miny?Ayy???0。
?1A(A??A)，故存在，
A?1?A?A?1?A?1，则
?1?1(I?A?A)?1/?1?A?1A?1?(A??A)?1A?1?1A?(1I?A??1A)?A??A1A?1?A??A11?A??1Acond(A)??AA1?cond(A)?AA。
30．
cond(A)??A?A?1?d)A?3?6?，当??2/3时，?，当??2/3时，con(cond(A)??4?2/?，当???2/3时，cond(A)?有最小值7。
31． (a) (b)
2cond(A)2??max/?min?(?max(WTW)/?min(WTW))2?cond(W)2，，
?(WTW)??(WWT),
cond(WT)2??max(WTW)/?min(WTW)?cond(W)2cond(A)2?cond(WT)2cond(W)2。
32． 33． 34．
cond(A)2??max/?min?39206.0，cond(A)??A?A?1??39601。
cond(A)2??max(ATA)?max(AAT)??maxI?maxI?1。 cond(AB)?ABB?1A?1?ABB?1A?1?cond(A)cond(B)。
第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案
1. (a) Jacobi迭代矩阵
0.40.2??0???1B?D(L?U)???0.2500.5??0.2?0.30???
3|?I?B|???0.21??0.055?0 特征方程为
特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。 Gauss-Seidel迭代矩阵
?00.40.2????1G?(D?L)U??00.40.7??00.040.17???
32??0 特征方程为 |?I?G|???0.57??0.096特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为
X(k?1)?BX(k)?f1
?1Tf?Db?(?1.250.3)其中B如上，1，
迭代18次得
X???3.99999642.99997391.9999999?，
TGauss-Seidel迭代格式为
X(k?1)?GX(k)?f2
?1Tf?(D?L)b?(?2.42.61.53)其中G如上，2，