数值分析第三版课本习题及答案

6f(x)dx?Cf(x)?1,x,x,x,x,xf(x)?x?a验证对于,均成立,但时不成立。

2345b4.

S?10(e?4?e?1/2?e?1)6=0.63233 b?ab?a4(4)()f(?)1802,

RS??所以

|RS|?1111?()4(e??)??()4?0.0003518021802。

5. 1) 此差值型求积公式的余项为

R??f?(?)(x?a)dxab

由于x?a在[a,b]上恒为正,故在[a,b]上存在一点?,使

R?f?(?)?(x?a)dx?abf?(?)(b?a)2.2

所以有?a 2)

bf(x)dx?(b?a)f(a)?bf?(?)(b?a)22。

R??f?(?)(x?b)dxaba

f?(?)(b?a)2.2

3)

??f?(?)?(x?b)dx??bR??af?(?)a?b2(x?)dx22

f??(?)ba?b2?(x?)dx2?a2

?f??(?)(b?a)3.24

6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为

Rr??RS??b?a2hf??(?)12

b?ah4(4)()f(?)1802

其中

??[a,b],h?b?an,

bf(x)dx所以当n??时,Rr?0,RS?0,即两公式均收敛到积分?a,且分别为二阶和四阶收敛。

7. 设将积分区间分成n等分则应有

b?a?b?a?(b?a)3|R|???M???f??(?)?212?n?12n2

其中

M?max|f??(x)|a?x?b,

解得

n?(b?a)3M12?。

8. 首先算出T1,T2,T4,T8,然后逐次应用3个加速公式

41S2k?T2k?1?T2k,k?0,1,233

C2k?R2k?计算结果如下表

k 0 1 2 3

所以,积分

I?2T2k 161S2k?1?S2k,k?0,11515 641C2k?1?C2k,k?0,16363

S2k C2k R2k 0.68394 0.64524 0.63541 0.63294 0.63234 0.63213 0.63212 0.63213 0.63212 0.63212 ??0.63212?0.71327。

9. a?(2R?H?h)/2?7782.5, c?(H?h)/2?972.5,

cS?4a?21?()2sin2?d?0a所以

??

2?4?7782.5?21?0.01561sin?d?0

=4×7782.5×1.56529 =48728

(可任选一种数值积分方法,如柯特斯公式)。 10. 由泰勒展开式

x3x5sinx?x????3!5!

nsin??????24n3!n5!n有

??3?5由于n??limn?sin?n??,用外推算法,令

T(h)?1sin?hh,则

111T()?2.59808,T()?3,T()?3.1058,33 6 12

1411114111T1()?T()?T()?3.13397T1()?T()?T()?3.1411133633631236, , 116111T2()?T1()?T1()?3.141593156153,

即?的近似值为3.14159。

I??311.

11dyy

1) 计算结果如下表

k 0 1 2 3

即积分I=1.09862。

1.33333 1.16667 1.11667 1.10321 1.11112 1.10000 1.09872 1.09926 1.09863 1.09862 T2k S2k C2k R2k 2)

?311111dy??dtf(t)??1t?2yt?2 ,令

三点高斯公式

I?5158515f(?)?f(0)?f()?1.0980495995

五点高斯公式

I?0.23693f(?0.90618)?0.47863f(?0.53847)?0.56889f(0)?0.47863f(0.53847)?0.23693f(0.90618)

=1.09862。

I????313)

1dyy

212.51311dy??dy??dy??dy1.5y22.5yyy

31?111111111(?dt??dt??dt??dt)?1?1?1?140.25t?1.250.25t?1.750.25t?2.250.25t?2.75

对每个积分用高斯公式 I=1.09854。

?1?1f(x)dx?f(?33)?f()33,得

此积分精确值为ln3?1.09861。 12. 三点公式:

f?(1.0)?f?(1.1)?f?(1.2)?1[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]??0.2472?0.1 1[?f(1.0)?f(1.2)]??0.2172?0.1 1[?f(1.1)?f(1.3)]??0.1892?0.1。

f?(x)??2(1?x)?3, f??(x)?6(1?x)?4, f???(x)??24(1?x)?5

h20.12|R1|?f???(?)??24(1?1.2)?5?1.55?10?333f?(1.0)的误差 h20.12|R2|??f???(?)??24(1?1.2)?5?7.8?10?466f?(1.1)的误差

?4f?(1.2)的误差 |R3|?6.2?10。

五点公式:

f?(1.0)?1[?25f(1.0)?48f(1.1)?36f(1.2)?16f(1.3)?3f(1.4)]??0.248312?0.1

f?(1.1)?f?(1.2)?1[?3f(1.0)?10f(1.1)?18f(1.2)?6f(1.3)?f(1.4)]??0.216312?0.1 1[f(1.0)?8f(1.1)?8f(1.3)?f(1.4)]??0.188312?0.1。

误差分别为

R1?1.7?10?3, R2?3.4?10?4, R3?4.7?10?4。

第五章 常微分方程数值解法习题参考答案

n(n?1)2n2ahah?nbh2,误差2,改进尤拉法表达式

1. 尤拉法表达式

yn?1?yn?h(axn?b)?

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