6f(x)dx?Cf(x)?1,x,x,x,x,xf(x)?x?a验证对于，均成立，但时不成立。
2345b4.
S?10(e?4?e?1/2?e?1)6＝0.63233 b?ab?a4(4)()f(?)1802，
RS??所以
|RS|?1111?()4(e??)??()4?0.0003518021802。
5. 1) 此差值型求积公式的余项为
R??f?(?)(x?a)dxab
由于x?a在[a,b]上恒为正，故在[a,b]上存在一点?，使
R?f?(?)?(x?a)dx?abf?(?)(b?a)2.2
所以有?a 2)
bf(x)dx?(b?a)f(a)?bf?(?)(b?a)22。
R??f?(?)(x?b)dxaba
f?(?)(b?a)2.2
3)
??f?(?)?(x?b)dx??bR??af?(?)a?b2(x?)dx22
f??(?)ba?b2?(x?)dx2?a2
?f??(?)(b?a)3.24
6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为
Rr??RS??b?a2hf??(?)12
b?ah4(4)()f(?)1802
其中
??[a,b],h?b?an，
bf(x)dx所以当n??时，Rr?0,RS?0，即两公式均收敛到积分?a，且分别为二阶和四阶收敛。
7. 设将积分区间分成n等分则应有
b?a?b?a?(b?a)3|R|???M???f??(?)?212?n?12n2
其中
M?max|f??(x)|a?x?b，
解得
n?(b?a)3M12?。
8. 首先算出T1,T2,T4,T8，然后逐次应用3个加速公式
41S2k?T2k?1?T2k,k?0,1,233
C2k?R2k?计算结果如下表
k 0 1 2 3
所以，积分
I?2T2k 161S2k?1?S2k,k?0,11515 641C2k?1?C2k,k?0,16363
S2k C2k R2k 0.68394 0.64524 0.63541 0.63294 0.63234 0.63213 0.63212 0.63213 0.63212 0.63212 ??0.63212?0.71327。
9. a?(2R?H?h)/2?7782.5， c?(H?h)/2?972.5，
cS?4a?21?()2sin2?d?0a所以
??
2?4?7782.5?21?0.01561sin?d?0
＝4×7782.5×1.56529 ＝48728
（可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式
x3x5sinx?x????3!5!
nsin??????24n3!n5!n有
??3?5由于n??limn?sin?n??，用外推算法，令
T(h)?1sin?hh，则
111T()?2.59808,T()?3,T()?3.1058,33 6 12
1411114111T1()?T()?T()?3.13397T1()?T()?T()?3.1411133633631236， ， 116111T2()?T1()?T1()?3.141593156153，
即?的近似值为3.14159。
I??311.
11dyy
1) 计算结果如下表
k 0 1 2 3
即积分I＝1.09862。
1.33333 1.16667 1.11667 1.10321 1.11112 1.10000 1.09872 1.09926 1.09863 1.09862 T2k S2k C2k R2k 2)
?311111dy??dtf(t)??1t?2yt?2 ，令
三点高斯公式
I?5158515f(?)?f(0)?f()?1.0980495995
五点高斯公式
I?0.23693f(?0.90618)?0.47863f(?0.53847)?0.56889f(0)?0.47863f(0.53847)?0.23693f(0.90618)
＝1.09862。
I????313)
1dyy
212.51311dy??dy??dy??dy1.5y22.5yyy
31?111111111(?dt??dt??dt??dt)?1?1?1?140.25t?1.250.25t?1.750.25t?2.250.25t?2.75
对每个积分用高斯公式 I＝1.09854。
?1?1f(x)dx?f(?33)?f()33，得
此积分精确值为ln3?1.09861。 12. 三点公式：
f?(1.0)?f?(1.1)?f?(1.2)?1[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]??0.2472?0.1 1[?f(1.0)?f(1.2)]??0.2172?0.1 1[?f(1.1)?f(1.3)]??0.1892?0.1。
f?(x)??2(1?x)?3， f??(x)?6(1?x)?4， f???(x)??24(1?x)?5
h20.12|R1|?f???(?)??24(1?1.2)?5?1.55?10?333f?(1.0)的误差 h20.12|R2|??f???(?)??24(1?1.2)?5?7.8?10?466f?(1.1)的误差
?4f?(1.2)的误差 |R3|?6.2?10。
五点公式：
f?(1.0)?1[?25f(1.0)?48f(1.1)?36f(1.2)?16f(1.3)?3f(1.4)]??0.248312?0.1
f?(1.1)?f?(1.2)?1[?3f(1.0)?10f(1.1)?18f(1.2)?6f(1.3)?f(1.4)]??0.216312?0.1 1[f(1.0)?8f(1.1)?8f(1.3)?f(1.4)]??0.188312?0.1。
误差分别为
R1?1.7?10?3， R2?3.4?10?4， R3?4.7?10?4。
第五章 常微分方程数值解法习题参考答案
n(n?1)2n2ahah?nbh2，误差2，改进尤拉法表达式
1． 尤拉法表达式
yn?1?yn?h(axn?b)?