(???0)U21U2h??(???)() 022d?g2?gd3.36 可变空气电容器，当动片由0至180电容量由25至350pF直线地变化，当动片为?角时，求作用于动片上的力矩。设动片与定片间的电压为U0?400V。
解 当动片为?角时，电容器的电容为
350?25??25?1.81?PF?(25?1.81?)?10?12F
180112?122此时电容器中的静电能量为 We?C?U0?(25?1.81?)?10U0
22?We1??1.81?10?12U02?1.45?10?7Nm 作用于动片上的力矩为 T???23.37 平行板电容器的电容是?0Sd，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。 （1）如果把一块厚度为?d的不带电金属插入两极板之间，但不与两极接触，如题3.37(a)图所示。则在原电容器电压U0一定的条件下，电容器的能量如何变化？电容量如何
C??25?S d ?d U0
变化？
（2）如果在电荷q一定的条件下，将一块横截面为?S、介电常数为?的电介质片插入电容器(与电容器极板面积基本上垂直地插入，如题3.37(b)图所示，则电容器的能量如何变化？电容量又如何变化？
解 （1）在电压U0一定的条件下，未插入金属板前，极板间的电场为
题3.37图(a)
电容为 C0?E0?U0 d?0Sd
?0SU0212 静电能量为 We0?C0U0?22d当插入金属板后，电容器中的电场为 E?U0
d??d2?0SU021?U0? 此时静电能量和电容分别为 We??0??S(d??d)?2?d??d?2(d??d)2We?0S C?2?
U0d??d故电容器的电容及能量的改变量分别为
?C?C?C0??0Sd??d??0Sd?
?0S?dd(d??d)
?We?We?We0??0SU02?d2d(d??d)（2）在电荷q一定的条件下，未插入电介质板前，极板间的电场为 E0??q? ?0?0Sq2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E
S 再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q
q d ? ?0 ?S ?q 11q2d 此时的静电能量为 We?qU?22??S??0(S??S)
??S??0(S??S) 其电容为 C?d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??
2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解
题3.37图(b)
q
??S??0(S??S)qd 两极板间的电位差位 U?Ed???S??0(S??S)于是得到极板间的电场为 E?决。
（1）证明：有源区E的微分方程为?E?2??t?0，?t????P；
???td?? （2）证明：E的解是 E???4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?E)??E?0
2(???P) ?0?(???P)??t2?故得到 ?E?
?0?0??t2（2）在直角坐标系中?E?的三个分量方程为
?01??t1??t1??t22?2Ex? ，?Ey?，?Ez??0?x?0?y?0?z又 ?E?1?0?(D?P)?1其解分别为
1??td?? ?4??0?R?x?11??tEy??d?? ??4??0?R?y11??tEz??d?? ?4??0?R?z?Ex??1故 E?exEx?eyEy?ezEz? ???t??t11??t???t1??d?? [e?e?e]d??xyz?????4??R4??0?R?x?y?z0??t)d???0 ?R??1???tR???t??t3?解 由于 ??(t)??t??()? ，所以
RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RRRR???????td????4??0E 由题3.38(2)可知 ?3.39 证明：??(故
?R???(?t)d????4??0E?4??0E?0 ?R第四章习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
y?)?a(y,?) 0① ?(0,) 0 ② ?(x,0??U③ ?(x,b)0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?(x,y)??Ansinh(y ?n?1n?yn?x)sin() aab U0由条件③，有
U0??Ansinh(n?1?n?bn?x)sin() aao a 题4.1图
ax 两边同乘以sin(
n?x)，并从0到a对x积分，得到 aa2U0n?xAn?sin()dx?
asinh(n?ba)?a04U0?,n?1,3,5,? ?n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,?4U01n?y?nx?(x,y)?sinh()sin()故得到槽内的电位分布 ??n?1,3,5nn?(ba)aa,sinh4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
2U0(1?cosn?)?n?sinh(n?ba)解 应用叠加
y 原理，设板间的电位为
U0 boxy dxy oxy 4.2图 题 x
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
其中，?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，即
?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界
条件为：
① ?2(x,0)??2(x,b)?0
②
?2(x,y)?0(x?? )