是点电荷q的电位，?in(r,?)是导体球上感应电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为
① r??时，?(r,?)?0； ② r?a时， ?(a,?)?0。
由条件①，可得?in(r,?)的通解为
z q ??in(r,?)??Anr?n?1Pn(cos?)
n?0为了确定系数An，利用1R的球坐标展开式
r1 a o 题4.18图
??rn??n?1Pn(cos?)(r?r1)1?n?0r1?? R??r1nP(cos?)(r?r1)?n?1n??n?0rq?anP(cos?) 将?0(r,?)在球面上展开为 ?0(a,?)??n?1n4??0n?0r1代入条件②，有
?Aann?0??n?1anPn(cos?) ?P(cos?)?0 ?n?1n4??0n?0r1q?qa2n?1 比较Pn(cos?)的系数，得到 An??n?14??0r1a2n?1?故得到球外的电位为 ?(r,?)??)n?1Pn(cos?)
4??0R4??0n?0(rr1讨论：将?(r,?)的第二项与1R的球坐标展开式比较，可得到
qq?ar1a2n?1P(cos?)? ?n?1n2222(rr)n?01r?(ar1)?2r(ar1)cos?2由此可见，?(r,?)的第二项是位于r??ar1的一个点电荷q???qar1所产生的电位，此
?电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。
4.19 一根密度为ql、长为2a的线电荷沿z轴放置，中心z 在原点上。P(r,?) 证明：对于r?a的点，有 a R ? ql?aa3a5?(r,?)??P(cos?)?P(cos?)? ?? 32542??r3r5rr ??? 0o 解 线电荷产生的电位为
对于r?a aaqlql11??(r,?)?dz?dz? ??224??0?aR4??0?ar?z??2rz?cos??a 的点，有
题4.19图 ?1(z?)n??n?1Pn(cos?) 22r?z??2rz?cos?n?0r
故得到
(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz?? ?4??0n?0??arn?1ql?a?ql?aa3a51an?1?(?a)n?1?P(cos?)?P(cos?)?P(cos?)??? ?24n2??0?r3r35r54??0n?0n?1rn?1?4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。证明：空间任意点电位为
24?Q?1?r?3?r??1?1?P(cos?)?P(cos?)??? (r?a) ??2??44??0a?8?a??2?a???24?Q?1?a?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)
4??0r?8?r??2?r???解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度
QQz ????(cos??cos)??(cos?) 2?a222?a2ql?再根据边界条件确
设球面r?a定系数。
内、外的电位分别为?1(r,?)和
?2(r,?)，则边界条
① ② ③
a o 件为：
y
x 题 4.20图
?1(0,?)为有限值； ?2(r,?)?0(r??) ?1(a,?)??2(a,?)，
??1??2Q?)??(cos?) 2?r?rr?a2?a根据条件①和②，可得?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
?0(?1(r,?)??AnrnPn(cos?) （1）
n?0???2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?) （2）
n?0代入条件③，有
Ana?Bna?n?n?1 （3）
2??0a将式（4）两端同乘以Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得
n?0?[Annan?1?Bn(n?1)a?n?2]Pn(cos?)??Q2?(cos?) （4）
Annan?1?Bn(n?1)a?n?2(2n?1)Q?(cos?)Pn(cos?)sin?d?? ?2?4??0a0(2n?1)QPn(0) （5） 24??0a?0?其中 Pn(0)??(n?1)n21?3?5(?1)?2?4?6n?n?1,3,5,n?2,4,6,
QQanPn(0)Pn(0) 由式（3）和（5），解得 An?，Bn?4??0an?14??0代入式（1）和（2），即得到
4?1?r?2?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?? (r?a)
4??0a?8?a???2?a??24?Q?1?a?3?a??2?1?P(cos?)?P(cos?)??? (r?a) ??2??44??0r?8?r???2?r??4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少
Q功？
解 利用镜像平面为x的点P处相距为x???x，如产生的电场为
?x E?(x)?exq? q 法求解。当点电荷q移动到距离导体时，其像电荷q???q，与导体平面题4.21图所示。像电荷q?在点P处
所以将点电荷q移
?q 4??0(2x)2o x xx 到无穷远处时，电场所作的功为
题 4.21图
We??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx? ? 24??0(2x)16??0dq2外力所作的功为 Wo??We?16??0d
4.22 如题4.22图所示，一个点电荷q放在60?的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求：
（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。
解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为
y ???q, q1q (2,1,0) (1, 1,0) ???2cos75??0.366?x1 ????2sin75?1.366??y1? q1 ? q2??q,q2???q,q3??q,q4 60? o ? q3 x
? q4? q5 题 4.22图
???2cos315??1?x5???q,?q5
???2sin315??1??y5（2）点x?2,y?1处电位
????x2?????y2????x3?????y3????x4?????y42cos165???1.3662sin165?0.3662cos195???1.3662sin195??0.3662cos285??0.3662sin285??1.366???
?q4???q2?q3?q51?qq1????????
4??0?RR1R2R3R4R5?q0.321q?2.88?109q(V) (1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?4??04??04.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相
?3距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设m?2?10kg，
。 h?0.02m）
解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q?对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q???q，位于导体平面上方为h处，则小带
q2 电体q受到的静电力为 fe??24??0(2h)
?(2,1,0)?z q z q R1 z q?q?? ?0 h o ? ? h o ? h 图 2.13q ? P R? ?0 h ? R2 0 o P 题 4.24图（a）
题 4.24图（b）
题 4.24图（c）
q2?mg 令fe的大小与重力mg相等，即
4??0(2h2)
??0mg?5.9?10?8C
4.24 如题4.24（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）z?0和z?0的两个半空间内的
于是得到 q?4h电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。
解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介
质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）
???0q，位于 z??h ???0???0q???q， 位于 z?h
???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即
q????qq????0q?11???1???? ?4??0R14??0R?4??0?r2?(z?h)2???0r2?(z?h)2????下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即
q?q??q1?2?? 4??R22?(???0)r2?(z?h)2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为