带入式（3），得
?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?] （5） 2??0n?1nr0ql?a2nlnr0， An??() 由此可得 A0?C?2??02??0nr0qlql故导体圆柱外的电为
?(r,?)??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos??
1a2n(C?lnr0)?()cosn? （6） ?2??02??0n?1nr0rqlql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
ql1a2n?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0n?1nr0r2??0ql?其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?(r,?)写成为
?(r,?)??ql2??0lnR?ql2??0lnR??ql2??0lnr?C?ql2??0lnr0
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）的线
a2
,0)的线电荷?ql；位于r?0的线电荷ql。 电荷ql；位于(r0
4.13 在均匀外电场E0?ezE0中放入半径为a的导体球，设（1）导体充电至U0；（2）导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。
解 （1）这里导体充电至U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此时导体球面上的电荷密度???0U0a，总电荷q?4??0aU0。将导体球放入均匀外电场E0中后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。
设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为
① r??时，?(r,?)??E0rcos?；
??dS?q ② r?a时， ?(a,?)?C0，??0??rS其中C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。
?2?1由条件①，可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??B1r?C1
3代入条件②，可得到 A1?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0 3?2?1若使C0?U0，可得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??aU0r
（2）导体上充电荷Q时，令Q?4??0aU0，有 U0?Q4??0a
3?2利用（1）的结果，得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??Q4??0r 4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0?ezE0，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。
解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和
?2(r,?)，则边界条件为
① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值； ③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?0由条件①和②，可设
??1????2 ?r?r?1(r,?)??E0rcos??A1rcos?
?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?
a o ? ?0 带入条件③，有
z
A1a?A2a?2，
??0E0??0A1???E0?2?a?3A2
???0???03E0 E0，A2??aE0 由此解得 A1??2???02???0题4.14图 3?E0rcos? 所以 ?1(r,?)??2???0???0a3?2(r,?)??[1?()]E0rcos?
2???0r空腔内、外的电场为
3?E0
2???0(???0)E0a3()[er2cos??e?sin?] E2????2(r,?)?E0?2???0rE1????1(r,?)?空腔表面的极化电荷面密度为
?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a??3?0(???0)E0cos?
2???0个电偶极子p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。
解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。
球壳外的场可由高斯定理求得为
4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一
E2(r)?erQo p r1 r2 z Q 4??0r2Q?2(r)?
4??0r
题 4.15图
外表面上的电荷面密度为 ?2?Q 4?r22设球内的电位为?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)，其中
pcos?p?P1(cos?)
4??0r24??0r2是电偶极子p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电位。
?in(r,?)满足的边界条件为
① ?in(0,?)为有限值；
?p(r,?)?② ?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以
?in(r1,?)?Q4??0r2?n?0?p4??r201P1(cos?)
?由条件①可知?in(r,?)的通解为 ?in(r,?)n由条件②，有 ?Anr1Pn(cos?)?n?0??ApnrPn(co?s )nQ4??0r2?4??r201P1(cos?)
比较两端Pn(cos?)的系数，得到
4??0r134??0r2An?0(n?2)
Qp1r?(?)cos? 最后得到 ?1(r,?)?4??0r24??0r2r13??1??1??球壳内表面上的感应电荷面密度为 ?1???0r?r0?n1?r感应电荷
?A0?Q， A1??p，
r?r1??3pcos? 4?r13为
的总量
3p2q1???1dS??3?co?s?2?r14?r10S4.16
线圈应如
解 的电流面
z si?n?d? 0er
欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问何绕（即求绕线的密度）？
设球内的均匀场为H1?ezH0(r?a)，球外的场为
a o H1 H2密度为
?n?(H?HJS21)r?a?er?(H2?ezH0)? H2(r?a)，如题4.16图所示。根据边界条件，球面上
r?a?
er?H2若
r?a?e?H0sin?
JS?e?H0sin?
令
题 4.16图
er?H2r?a?0，则得到球面上的电流面密度为
这表明球面上的绕线密度正比于sin?，则将在球内产生均匀场。
4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。 （1）证明：球内的电场是均匀的，等于?P?0；
4?R3（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同，??。
3解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。
建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为
z ?p?P?n?P?er?Pcos?
介质球内、外的电位?1和?2满足的边界条件为
① ?1(0,?)为有限值；
② ?2(r,?)?0(r??)； ③ ?1(R,?)??2(R,?)
?????0(1?2)r?R?Pcos?
?r?r因此，可设球内、外电位的通解为
P o R 题 4.17图
?1(r,?)?A1rcos?
B1?2(r,?)?2cos?
rB2B1?(A?)?P 由条件③，有 A1R?1，0123RRPPR3 解得 A1?， B1?3?03?0PPrcos??z 于是得到球内的电位 ?1(r,?)?3?03?0PP?? 故球内的电场为 E1????1??ez3?03?0（2）介质球外的电位为
P?PR314?R3P?cos? ?2(r,?)?cos??cos?2224??r3?0r4??0r304?R3其中??为介质球的体积。故介质球外的电场为
3P???1??2(er2cos??e?sin?) E2????2(r,?)??er2?e??34??r?rr?r0可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同。
4.18 半径为a的接地导体球，离球心r1(r1?a)处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。
用分离变量法求电位分布。
解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。
设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)?q4??0R?q4??0r2?r12?2rr1cos?