第一章习题解答
1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3
B??ey4?ez
C?ex5?ez2
求：（1）a；（2）A?B；（3）AB；（4）?；（5）A在B上的分量；（6）A?C；
AAB（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。
解 （1）aAA?ex?ey2?ez3A?12?22?(?3)2?e123x14?ey14?ez14 （2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11 （
4
）
由
c?oB?11AB?sAAB?1?4?17??AB?co?s1(?11238)?135.5 （5）A在B上的分量 AAB11B?Acos?AB?B??17 exeyez（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4
0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42
exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5
50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11
8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 （1）判断?PP12P3是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
，
1得2 1
38解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3， ?r?2ex2?ey?ez8R31?r1?r3??ex6?ey?ez7
由此可见
R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0
故?PP为一直角三角形。 12P3 （2）三角形的面积 S?1R?R?1R12231?17?69?17. 1323222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。
解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3，
12?R则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为
exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47
RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73
RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和
?x?cos?1(A在B上的分量。
解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos(?1AB?31)?cos?1()?131 AB29?77A在B上的分量为 AB?AB?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在
C?ex?ey?ez上的分量。
ex解 A?B?2ey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1?6?4(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C； 解 由A?B?A