第一章习题解答
1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3
B??ey4?ez
C?ex5?ez2
求：（1）a；（2）A?B；（3）AB；（4）?；（5）A在B上的分量；（6）A?C；
AAB（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。
解 （1）aAA?ex?ey2?ez3A?12?22?(?3)2?e123x14?ey14?ez14 （2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11 （
4
）
由
c?oB?11AB?sAAB?1?4?17??AB?co?s1(?11238)?135.5 （5）A在B上的分量 AAB11B?Acos?AB?B??17 exeyez（6）A?C?12?3??ex4?ey13?ez10 50?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20 50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4
0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20)??42 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4)(ex5?ez2)??42
exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5
50?2exeyezA?(B?C)?12?3?ex55?ey44?ez11
8520 1.2 三角形的三个顶点为P1(0,1,?2)、P2(4,1,?3)和P3(6,2,5)。 （1）判断?PP12P3是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。
，
1得2 1
38解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2?r1?ex4?ez， R23?r3， ?r?2ex2?ey?ez8R31?r1?r3??ex6?ey?ez7
由此可见
R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0
故?PP为一直角三角形。 12P3 （2）三角形的面积 S?1R?R?1R12231?17?69?17. 1323222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。
解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3，
12?R则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez 且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为
exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eR??3?y?cos?1(yPP)?cos?1()?120.47
RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73
RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和
?x?cos?1(A在B上的分量。
解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos(?1AB?31)?cos?1()?131 AB29?77A在B上的分量为 AB?AB?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在
C?ex?ey?ez上的分量。
ex解 A?B?2ey3ez?4??ex13?ey22?ez10 1?6?4(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C； 解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即
(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C
由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C
所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。
解 由P?A?X，有
A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X
pA?A?P
故得 X?标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?(2故该点的直角坐标为(?2,23,3)。
AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐
3?3)?、2y?4sin(2?3)?23、z?3
（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120
故该点的球坐标为(5,53.1,120)
r（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex；
（2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故
1.9 用球坐标表示的场E?e25，
r2E?er251
?r221?332
Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以
2525r?ex3?ey4?ez5 E?2?3?rr102故E与B构成的夹角为
?EB?cos?1(EB19(102))?cos?1(?)?153.6 EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和
R2间夹角的余弦为
cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)
解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1
R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2
得到 cos??R1R2?
R1R2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
sin?1cos?1sin?2cos?2?sin?1sin?1sin?2sin?2?cos?1cos?2?
1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 解 ?(er3sin?)dS??(er3sin?)erdS?SS2??(e3sin?)dS的值。
rS2??d??3sin??500sin?d??75?2
1.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验证散度定理。
解 在圆柱坐标系中 ?A?42?1??(rr2)?(2z)?3r?2 r?r?z50所以 又
?Ad???dz?d??(3r?2)rdr?1200? ??00?AdS??(errSS42?2?ez2z)(erdSr?e?dS??ezdSz)?
52? 故有
??5002?5d?dz???2?4rdrd??1200?
00?Ad??1200???AdS ??S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?A对中心在原
点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为
121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1 24 （3）A对此立方体表面的积分
?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?
22?12?12?12?121212121212121212122122 2x()dxdz?2x(?)dxdz? ????22?12?12?12?121313122 24xy()dxdy?24xy(?)dxdy?????2224?12?12?12?122212121212故有
???Ad??1?24?AdS
S2?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。
?2解
?rdS??reSSrdS??d??aa00sin?d??4?a3
又在球坐标系中，?r?1?2(rr)?3，所以 2r?r2??a23 3rsin?drd?d??4?a???000???rd??1.15 求矢量A?exx?eyx2?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，
验证斯托克斯定理。
22222解
C?Adl??xdx??xdx??2000dy??0dy?8
0