解：因为(18, 21)=3, 3|8－5，所以??x?5(mod18),?x?5(mod18),有解；(18, 35)=1, 所以??x?8(mod21).?x?a(mod35).?x?a(mod35),有解。
?x?8(mod21).总是有解。因此，要使题设的同余方程组有解，只需?而这里，(21, 35)=7，由定理可知，只需a≡8≡1(mod 7). 即x = 1+7t ( t为整数 )，题设的同余方程组总有解。 3.解下列同余方程组：(1) ??x?3(mod7),?x?6(mod13),, (2) ?
?x?5(mod11).?x?7(mod24).?2x?4(mod8), ?15x?5(mod35).?(4) ??5x?7(mod11), (5)
6x?9?0(mod19).?解：(1)方法一：设x=5+11y, 代入第一个同余方程，得11y≡3－5 (mod 7)，
得y≡3 (mod 7) 所以同余方程组的解是x≡38 (mod 77)。 方法二：用孙子定理解，M=77，M1=11，M2= 7， 令11 M1′≡1(mod 7)， 得M1′≡2(mod 7)， 7 M2′≡1(mod 11)，得M2′≡－3(mod 11)，
所以同余方程组的解是x≡11×2×3 + 7×(－3)×5≡－39≡38 (mod 77). (2) 方法一：设x=7+24y, 代入第一个同余方程，得24y≡6－7 (mod 13)， 得y≡7 (mod 13) 所以同余方程组的解是x≡7+24×7≡175 (mod 312)。 方法二：用孙子定理解，M=312，M1=24，M2= 13， 令24 M1′≡1(mod 13)， 得M1′≡6≡－7 (mod 13)， 13 M2′≡1(mod 24)，得M2′≡13(mod 24)，
所以同余方程组的解是x≡24×(－7)×6 + 13×13×7≡－1008+1183≡175 (mod 312).
第4题(1) (3) (4).
5．.解下列同余方程组： （1） x≡8（mod 15）， （2） x≡6（mod 11），
x≡3（mod 10）， x≡3（mod 8）， x≡1（mod 8）； x≡11（mod 20）； （3） x≡2（mod 35）， （4） 4x≡90（mod 105），
x≡9（mod 14）， 5x≡18（mod 63）， x≡7（mod 20）； 7x≡10（mod 50），
3x≡12（mod 22）
?x ? 2 ?解：（1）化为?x ? 3 ??x ?1?mod 3?,?mod 5?,用孙子定理解，M=120，M1=40，M2=24，M3=15， ?mod 8?.令40 M1′≡1(mod 3)， 得M1′≡1 (mod 3)；
24 M2′≡1(mod 5)， 得－M2′≡1(mod 5)，M2′≡－1(mod 5)； 15 M3′≡1(mod 8)， 得－M2′≡1(mod 8)，M2′≡－1(mod 8)
所以同余方程组的解是x≡40×2 + 24× (－1)×3 +15×(－1)×1 ≡ －7(mod 120).
?x ? 2 ?（3）化为?x ? 9 ??x ?3?mod 35?, ?,?mod1?mod 4?.??x ? 2 即??x ?3??mod 35?,
?mod 4?.用孙子定理解，M=140，M1=4，M2=35， 令4 M1′≡1(mod 35)， 得M1′≡9 (mod 35)；
35 M2′≡1(mod 4)， 得－M2′≡1(mod 4)，M2′≡－1(mod 4)；
所以同余方程组的解是x≡4×9×2 + 35× (－1)×3 ≡ －33 ≡ 107 (mod 140).
6. 解我国古代数学家杨辉在 1275 年所写的《续古摘奇算法》中的三个例题： （1）七数剩一，八数剩一，九数剩三，问本数；
（2）十一数余三，十二数余二，十三数余一，问本数； （3）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数.
??x ? 1 解：（1）???x ?3?mod 56?,
?mod 9?.方法一：设x=1+56y, 代入第二个同余方程，得
56y ≡ 3－1 (mod 13)，（56－54）y ≡ 2 (mod 13)
得y ≡ 1 (mod 13) y，所以，同余方程组的解是x≡57 (mod 504)。 方法二：用孙子定理解。
?x ? 3 ?（2）?x ? 2 ??x ?1 ?,?mod11 ?,用孙子定理解，M=1716，M1=156，M2=143，M3=132， ?mod12 ?.?mod13令156 M1′≡1(mod 11)， 得2M1′≡12(mod 11)，M1′≡6(mod 11)；
143 M2′≡1(mod 12)， 得－M2′≡1(mod 12)，M2′≡－1(mod 12)； 132 M3′≡1(mod 13)， 得2M2′≡－12(mod 13)，M2′≡－6(mod 13)
所以同余方程组的解是x≡156×6×3 + 143× (－1)×2 +132×(－6)×1 ≡ 14(mod 17). 法二：观察法。或累加试除法。
7. 设韩信所辖某部士兵共 26641人，在一次战斗中损失近百人. 休整时清查：1～3报数余 1，1～5报数余 3，1～ 7报数余 4. 问损失了多少人？
?x ? 1 ?mod 3?,??x ? 3 ?mod 5?,解：设还有士兵x人，由题设，得同余方程组?
?x ?4?mod 7?,?26541?x ?26600.?
由口诀，x≡70 + 21×3 + 15×4≡193+105×251≡ 26548 (mod 105) 26641－26548=93人。损失了93人。
?26641?x ? 1 ??26641?x ? 3 设损失了x人，得同余方程组??26641?x ?4?0?x ?100.??x ? 0 ?mod 3?,?mod 3?,?mod 5,???x ? 3 ?mod 5?,化为?
?mod 7?,?x ?2?mod 7?,?0?x ?100.?由口诀，x=21×3 + 15×2=93。损失了93人。
8. 求 7的倍数，使它分别被 2，3，4，5，6除时，余数都是 1.
解：设所求为7x, [2，3，4，5，6] =60，由题设，得7x ? 1 ?mod 60?,
用大衍求一术得x≡43 (mod 60), 7x=7×43=301， 故，所求为301+420t , t 为整数。 9. 求三个连续的自然数，使它们从小到大依次被 15，17，19 整除（写出其中最小的一组）.
??15x?1 ? 0 解：由题设，得同余方程组???15x ?2?0 ?, ?,??mod17?x ? 9 ?mod17化为标准形式为? ?. ?.?mod19??x ?10?mod19用孙子定理解，M=321，M1=19，M2=17，
令19 M1′≡1(mod 17)， 得M1′≡9(mod 17)， 17 M2′≡1(mod 19)， 得M2′≡9(mod 19)，
所以同余方程组的解是x≡19×(－8)×9 + 17×9×10 ≡ 162 (mod 321). 本题所求的三个连续的自然数是162×15，162×15+1，162×15+2，即2430，2431，2432。