1.一学生通过一种英语听力测试的概率是
A.
1412，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是（ ）
C.
12 B.
13 D.
34
答案 C
2.已知随机变量X服从二项分布X～B（6，
A.
131613），则P（X=2）等于
C.
13243
D.
（ ）
80243 B.
4243
答案 D
3.打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的 概率是 A.
35
B.
34
C.
1225
D.
1425（ ）
答案 D
4.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是且是相互独立的，则灯亮的概率是 A.
16412，
5564
C.
18（ ）
D.
116 B.
答案 B 5.已知P（AB）=
A.
950310，P（A）=
35，则P（B|A）等于
B.
12
C.
910
（ ）
D.
14
答案 B
例1 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问
（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ （2）从2号箱取出红球的概率是多少？ 解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球. P（B）=
42?4=
23，P（B）=1-P（B）=
3?18?113，
（1）P（A|B）==
349. =
13（2）∵P（A|B）=
8?1，
∴P（A）=P（AB）+P（AB） =P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）
25
=
493
23+
133
13=
1127.
例2 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算： （1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰有一人击中目标的概率； （3）至少有一人击中目标的概率.
解 记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是AB或AB；“至少有1人击中目标”是AB或AB或AB. （1）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A2B，又由于事件A与B相互独立， ∴P（AB）=P（A）2P（B）=0.830.8=0.64.
（2）“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即AB），另一种是甲未击中，乙击中（即AB），根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与AB是互斥的，所以所求概率为：
P=P（AB）+P（AB）=P（A）2P（B）+P（A）2P（B） =0.83(1-0.8)+(1-0.8)30.8 =0.16+0.16=0.32.
（3）方法一 “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P=P（AB）+［P（AB）+P（AB）］ =0.64+0.32=0.96.
方法二 “两人都未击中目标”的概率是 P（AB）=P（A）2P（B）=（1-0.8）3（1-0.8）
=0.230.2=0.04.
∴至少有一人击中目标的概率为 P=1-P（AB）=1-0.04=0.96.
例3 （12分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
13.
（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列； （2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为
故X～B（6，
1313，且每次试验结果是相互独立的，
2分
），
所以X的分布列为 P（X=k）=Ck6?1????3?k?2?2???3?6?k，k=0，1，2，3，4，5，6. 4分
（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.
其中：{Y=k}（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算.
?2?P（Y=k）=???3?k2
13（k=0，1，2，3，4，5）， 6分
而{Y=6}表示一路没有遇上红灯，
26
故其概率为
?2?P（Y=6）=???3?6.
因此Y的分布列为：
Y P 0 131 132 233 2 2 1?2?2??3?3? 1?2?2??3?3?3
8分
（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或?或X=6}，
6Y P 14 ?2?2??3?3?45 1?2?2??3?3?56 ?2????3?6
10分
所以其概率为 P（X≥1）=?k?1P(X?k)?1?P(X?0)
?2?=1-???3?6=
665729≈0.912.
12分
1.盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张（不放回），记“甲中奖”为A，“乙中 奖”为B.
（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）； （2）A与B是否相互独立，说明理由. 解 （1）P（A）=
232A103?9A102=
310，P（B）=
P(AB)P(B)310，
29P（AB）=
A=
115，P（A|B）=
?.
（2）因为P（A）≠P（A|B），所以A与B不相互独立.
2.甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格. （1）分别求甲、乙两人考试合格的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.
解 （1）设甲、乙考试合格分别为事件A、B，甲考试合格的概率为P（A）=乙考试合格的概率为P（B）=
C8?C8C2C103321321C6?C6C4C103?23，
?1415.
1415（2）A与B相互独立，且P（A）=
23，P（B）=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为
27
P（AB+AB+AB）=
233
1415+
133
1415+
233
115=
4445.
3.（20082山东理，18）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
23，乙队中3人答对的概率分别为
23，
23，
12，且各
人回答正确与否相互之间没有影响.用?表示甲队的总得分. （1）求随机变量?的分布列和数学期望；
（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）.
解 （1）方法一 由题意知，?的可能取值为0，1，2，3，且 P（?=0）=CP(?=1)=
1C30332??3?1??3??=
2127,
293
2??3?1??3?3?2=
2??3?,
49P(?=2)=C23?2?3???3?3323?1??3?=,
P(?=3)= C?2?3???3?=
827.
所以?的分布列为
? 0 12711 29292 493 827P 的数学期望为E?=03
49 827 ?27+13+23
23+33=2.
方法二 根据题设可知,?～B（3，因此?的分布列为 P(?=k)=Ck3）,
?2?3???3?k2??3?1??3??3?k=Ck33
2323k3,k=0,1,2,3.
因为?～B（3，
23）,所以E?=33=2.
(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB=C+D，且C、D互斥， P（C）=CP(D)=C33232?2?3???3?33?1???2??3?3（3
12233
133,
12+
133
233
12+
133
133
12）=
1034,
?2?3???3?3（
133
13）=
435由互斥事件的概率公式得 P(AB)=P(C)+P(D)=
1034+
435=
3435=
34243.
方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3.由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有
P（AB）=P（A3B0+A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）.
由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，因此
28