高考一轮复习__概率与统计

1.一学生通过一种英语听力测试的概率是

A.

1412,他连续测试两次,那么其中恰有一次通过的概率是( )

C.

12 B.

13 D.

34

答案 C

2.已知随机变量X服从二项分布X~B(6,

A.

131613),则P(X=2)等于

C.

13243

D.

( )

80243 B.

4243

答案 D

3.打靶时甲每打10次可中靶8次,乙每打10次,可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则它们都中靶的 概率是 A.

35

B.

34

C.

1225

D.

1425( )

答案 D

4.一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F为6个开关,其闭合的概率都是且是相互独立的,则灯亮的概率是 A.

16412,

5564

C.

18( )

D.

116 B.

答案 B 5.已知P(AB)=

A.

950310,P(A)=

35,则P(B|A)等于

B.

12

C.

910

( )

D.

14

答案 B

例1 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少? 解 记事件A:最后从2号箱中取出的是红球; 事件B:从1号箱中取出的是红球. P(B)=

42?4=

23,P(B)=1-P(B)=

3?18?113,

(1)P(A|B)==

349. =

13(2)∵P(A|B)=

8?1,

∴P(A)=P(AB)+P(AB) =P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)

25

=

493

23+

133

13=

1127.

例2 甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,计算: (1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率.

解 记“甲射击一次,击中目标”为事件A,“乙射击一次,击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB;“恰有1人击中目标”是AB或AB;“至少有1人击中目标”是AB或AB或AB. (1)显然,“两人各射击一次,都击中目标”就是事件A2B,又由于事件A与B相互独立, ∴P(AB)=P(A)2P(B)=0.830.8=0.64.

(2)“两人各射击一次,恰好有一次击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即AB),另一种是甲未击中,乙击中(即AB),根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件AB与AB是互斥的,所以所求概率为:

P=P(AB)+P(AB)=P(A)2P(B)+P(A)2P(B) =0.83(1-0.8)+(1-0.8)30.8 =0.16+0.16=0.32.

(3)方法一 “两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概率为P=P(AB)+[P(AB)+P(AB)] =0.64+0.32=0.96.

方法二 “两人都未击中目标”的概率是 P(AB)=P(A)2P(B)=(1-0.8)3(1-0.8)

=0.230.2=0.04.

∴至少有一人击中目标的概率为 P=1-P(AB)=1-0.04=0.96.

例3 (12分)一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是

13.

(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数,求X的分布列; (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为

故X~B(6,

1313,且每次试验结果是相互独立的,

2分

),

所以X的分布列为 P(X=k)=Ck6?1????3?k?2?2???3?6?k,k=0,1,2,3,4,5,6. 4分

(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然Y是随机变量,其取值为0,1,2,3,4,5.

其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算.

?2?P(Y=k)=???3?k2

13(k=0,1,2,3,4,5), 6分

而{Y=6}表示一路没有遇上红灯,

26

故其概率为

?2?P(Y=6)=???3?6.

因此Y的分布列为:

Y P 0 131 132 233 2 2 1?2?2??3?3? 1?2?2??3?3?3

8分

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为 {X≥1}={X=1或X=2或?或X=6},

6Y P 14 ?2?2??3?3?45 1?2?2??3?3?56 ?2????3?6

10分

所以其概率为 P(X≥1)=?k?1P(X?k)?1?P(X?0)

?2?=1-???3?6=

665729≈0.912.

12分

1.盒子中有10张奖券,其中3张有奖,甲、乙先后从中各抽取1张(不放回),记“甲中奖”为A,“乙中 奖”为B.

(1)求P(A),P(B),P(AB),P(A|B); (2)A与B是否相互独立,说明理由. 解 (1)P(A)=

232A103?9A102=

310,P(B)=

P(AB)P(B)310,

29P(AB)=

A=

115,P(A|B)=

?.

(2)因为P(A)≠P(A|B),所以A与B不相互独立.

2.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.

解 (1)设甲、乙考试合格分别为事件A、B,甲考试合格的概率为P(A)=乙考试合格的概率为P(B)=

C8?C8C2C103321321C6?C6C4C103?23,

?1415.

1415(2)A与B相互独立,且P(A)=

23,P(B)=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为

27

P(AB+AB+AB)=

233

1415+

133

1415+

233

115=

4445.

3.(20082山东理,18)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

23,乙队中3人答对的概率分别为

23,

23,

12,且各

人回答正确与否相互之间没有影响.用?表示甲队的总得分. (1)求随机变量?的分布列和数学期望;

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).

解 (1)方法一 由题意知,?的可能取值为0,1,2,3,且 P(?=0)=CP(?=1)=

1C30332??3?1??3??=

2127,

293

2??3?1??3?3?2=

2??3?,

49P(?=2)=C23?2?3???3?3323?1??3?=,

P(?=3)= C?2?3???3?=

827.

所以?的分布列为

? 0 12711 29292 493 827P 的数学期望为E?=03

49 827 ?27+13+23

23+33=2.

方法二 根据题设可知,?~B(3,因此?的分布列为 P(?=k)=Ck3),

?2?3???3?k2??3?1??3??3?k=Ck33

2323k3,k=0,1,2,3.

因为?~B(3,

23),所以E?=33=2.

(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件,用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件,所以AB=C+D,且C、D互斥, P(C)=CP(D)=C33232?2?3???3?33?1???2??3?3(3

12233

133,

12+

133

233

12+

133

133

12)=

1034,

?2?3???3?3(

133

13)=

435由互斥事件的概率公式得 P(AB)=P(C)+P(D)=

1034+

435=

3435=

34243.

方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“乙队得k分”这一事件,k=0,1,2,3.由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故有

P(AB)=P(A3B0+A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

由题设可知,事件A3与B0独立,事件A2与B1独立,因此

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