高考一轮复习__概率与统计

故∠CAM<30°的概率为 P(B)=

(0,30)的长度(0,45)的长度???=

23.

2

2

12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.

当a≥0,b≥0时,方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b. (1)基本事件共有12个:

(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1), (3,2).

其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值. 事件A中包含9个基本事件,事件A发生的概率为 P(A)=

9122

2

2

2

=

34.

(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件A的区域为

{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率为

3?2?12?22P(A)=

3?2=

23.

§12.4 离散型随机变量及其分布列

1.袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值个数为 A.25 答案 C

2.下列表中能成为随机变量X的分布列的是 A.

X P B.

X P C.

1 0.4 2 0.7 3 -0.1 -1 0.3 0 0.4 1 0.4

( )

D.6

( )

B.10

C.7

基础自测

17

X P D.

X P 答案 C

-1 0.3 0 0.4 1 0.3 1 0.3 2 0.4 3 0.4 3.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=

A.

19i2a(i=1,2,3),则P(X=2)等于

C.

13 D.

14

( )

B.

16

答案 C

4.一批产品共50件,其中5件次品,45件合格品,从这批产品中任意抽两件,其中出现次品的概率 是 . 答案

X 0 1 5.若X的分布列为 则常数c= .

2P 9c-c 3-8c 答案

例1 一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个大小相同的球,现从中随机取出3个球,以X表示取出的最大号码. (1)求X的分布列; (2)求X>4的概率.

解 (1)X的可能取值为3,4,5,6,从而有: P(X=3)=

C3C36147245

13

3=

1202,

P(X=4)=

C1?C3C63=

320,

P(X=5)=

C1?C4C6312=

310,

P(X=6)=

C1?C5C3612=

12.

故X的分布列为

X P 3 1204 3205 3106 12 18

(2)P(X>4)=P(X=5)+P(X=6)=

310?510=

45.

例2 (12分)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中的男生人数,求X的分布列. 解 依题意随机变量X服从超几何分布, 所以P(X=k)=

0C6C4C104k4?k(k=0,1,2,3,4).

1210 4分

∴P(X=0)=P(X=2)= P(X=4)=

C6C4C1044=

37,P(X=1)=

3C6C4C10413=

435,

C6C4C10422==

,P(X=3)= ,

C6C4C1041=

821,

C6C44C1040114

∴X的分布列为

X P 0 12101 4352 373 8214 114 12分

例3 设离散型随机变量X的分布列为

X P 求:(1)2X+1的分布列; (2)|X-1|的分布列. 解 由分布列的性质知: 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为:

X 2X+1 |X-1| 从而由上表得两个分布列为: (1)2X+1的分布列:

2X+1 P (2)|X-1|的分布列:

|X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

1.袋中有3个白球,3个红球和5个黑球.从中抽取3个球,若取得1个白球得1分,取得1个红球扣1分,取得1个黑球得0分.求所得分数?的分布列. 解 得分?的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3.

?=-3时表示取得3个球均为红球,

19

∴P(?=-3)=

?C3C1133=

1165;

=-2时表示取得2个红球和1个黑球,

C3C5C11321∴P(?=-2)=

?=

111;

=-1时表示取得2个红球和1个白球,或1个红球和2个黑球,

C3C3?C3C53C112112∴P(?=-1)=

??1355;

=0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白,

C5?C3C3C5C1133111∴P(?=0)=

??13;

=1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球, ∴P(?=1)=

C3C5?C3C3C1131221?1355;

?=2时表示取得2个白球和1个黑球,

C3C5C11321∴P(?=2)=

?111;

C33C113?=3时表示取得3个白球,∴P(?=3)=

?1165;

∴所求分布列为:

? -3 1165-2 111-1 13550 131 13552 1113 1165P 2.袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机地抽取4个球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分. (1)求得分X的分布列; (2)求得分大于6的概率.

解 得分X的所有可能值为:5,6,7,8. (1)P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=

C4C3C73412213C4C3C?47?435,

18351235135, , .

C4C3C7440?C4C3C74?∴X的分布列为

X P

(2)得分大于6的概率为: P(X=7)+P(X=8)=

12355 4356 18357 12358 135 +

135=

1335.

3.已知随机变量?的分布列为

20

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