高考一轮复习__概率与统计

例2 街道旁边有一游戏:在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm的小 圆板,规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边,可重掷一次;若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上,可获1元钱.试问: (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少? (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?

解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内,所以概率为

92?7922=

3281.

14(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为

?92??81.

例3 (12分)在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,含有麦锈病 种子的概率是多少?从中随机取出30毫升,含有麦锈病种子的概率是多少? 解 1升=1 000毫升,

9分

12分 2分 4分 7分

记事件A:“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 则P(A)=

101000=0.01,即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.

记事件B:“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”. 则P(B)=

301000=0.03,即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.

例4 在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. 解 设事件D“作射线CM,使|AM|>|AC|”.

在AB上取点C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等腰三角形, 所以∠ACC′=

?180??302?=75°,

1590A=90-75=15,?Ω=90,所以,P(D)=

=

16.

例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离 去.求两人能会面的概率.

解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得: P(A)=

SAS=

602?4522=

3600?20253600=

716.

60所以,两人能会面的概率是

716.

1.如图所示,A、B两盏路灯之间长度是30米,由于光线较暗,想在其间再随意安装两盏路灯C、D,问A与C,B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少?

解 记E:“A与C,B与D之间的距离都不小于10米”,把AB三等分,由于中间长度为303

13=10(米),

13

∴P(E)=

1030=

13.

2.(20082江苏,6)在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为 . 答案

?16

3.如图所示,有一杯2升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.

解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A,则事件A的概率只与取出的水的体积有关,符合几何概型的条件.

∵?A=0.1升,?Ω=2升, ∴由几何概型求概率的公式, 得P(A)=

?A?Ω=

0.12=

120=0.05.

4.在圆心角为90°的扇形AOB中,以圆心O为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率. 解 如图所示,把圆弧 三等分,则∠AOF=∠BOE=30°,记A为“在扇形AOB内作一射线OC,使 ∠AOC和∠BOC都不小于30°”,

要使∠AOC和∠BOC都不小于30°,则OC就落在∠EOF内, ∴P(A)=

3090??=

13.

5.将长为l的棒随机折成3段,求3段构成三角形的概率.

解 设A=“3段构成三角形”,x,y分别表示其中两段的长度,则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合

Ω={(x,y)|0<x<l,0<y<l,0<x+y<l},

l2要使3段构成三角形,当且仅当任意两段之和大于第3段,即x+y>l-x-y?x+y>y<

l2,x+l-x-y>y

?,y+l-x-y>x?x<

l2.

故所求结果构成集合 A=?(x,y)|x???y?l2,y?l2,x?l??2?.

由图可知,所求概率为

1?l????2?2?l22P(A)=

A的面积Ω的面积==

14.

2

一、选择题

14

1.在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17<a<20的概率是( )

A.

13 B.

12 C.

310 D.

710

答案C

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36?平方厘米到64?平方厘米的概率是

A.C.

925

( )

B. D.

1625

31015

答案D

3.当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为45秒,那么你看到黄灯的概率是 A.

112

B.

38 

C.

116

D.

56 

( )

答案C

4.如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°),在其内部随机地撒一粒黄豆,则它落在阴影部分的概率为

( )

A.

2? B.

1? C.

12 D.1-

2?

答案D

5.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于

A.

14S4的概率是

D.

23 

( )

 B.

12 C.

34

答案C

6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是 A.

?4 

B.

?8

C.

?6

( ) D.

?12 

答案C 二、填空题

7.已知下图所示的矩形,其长为12,宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为550颗,则可以估计出阴影部分的面积约为 .

15

答案 33

8.在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于答案

1725

65”的概率为 .

三、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环,从外向内白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色, 金色靶心叫“黄心”,奥运会的比赛靶面直径是122 cm,靶心直径12.2 cm,运动员在70米 外射箭,假设都能中靶,且射中靶面内任一点是等可能的,求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A,由于中靶点随机的落在面积为内,而当中靶点在面积为的概率

114?3122 cm的大圆

22

14?312.2 cm的黄心时,事件A发生,于是事件A发生

22

P(A)=

414??12.2??1222=0.01,

2所以射中“黄心”的概率为0.01.

10.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少? 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内,以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间,则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而(x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形,而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示,这是一个几何概型问题,?A=1-122

123

3

12=

78,?Ω =1,

?A所以P(A)=

?Ω=

78.

11.已知等腰Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)在线段BC上任取一点M,求使∠CAM<30°的概率; (2)在∠CAB内任作射线AM,求使∠CAM<30°的概率. 解 (1)设CM=x,则0<x<a.(不妨设BC=a). 若∠CAM<30°,则0<x<故∠CAM<30°的概率为

?3?区间?0,a?的长度??3??区间(0,a)的长度33a,

P(A)==

33.

(2)设∠CAM=?,则0°<?<45°. 若∠CAM<30°,则0°<?<30°,

16

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