复变函数与积分变换习题解答

复变函数与积分变换习题解答

答:由于级数

??n?1?n的各项都为非负实数,故级数

??n?1?n的绝对收敛性可依正项级数的定

理判定之。又由于级数

??n?1?n可表示为n?1???n??an?i?bnn?1n?1??,其中n?1?a?n及

?bn?1?n均为数

项级数,故级数n?1???n?0?n的收敛性可依赖于数项级数的定理判定之。

n(2)判定级数

?a收敛的必要条件是什么?

?an?0?n绝对收敛的充要条件又是什么?

答:如同实级数一样,

?an?0?n收敛的必要条件是n??lim?n?0;而

?an?0?n绝对收敛的充要条件

是n?0?Rea?n与n?0?Ima?n都是绝对收敛级数。

(3)为什么说函数能展为幂级数与函数为解析函数是等价的?

答:因为在收敛圆内,幂级数的和函数是解析函数。同时,在某点邻域内解析的函数在其邻域内必然可以展成幂级数。

25

复变函数与积分变换习题解答

练 习 八

1.求下列函数在指定点

z0处的Taylor展式。

1,z0?1?i4?3z(1)

4104R??1?i?z?f(z)33 3,其收敛半径为 解:只有一个奇点

11? 则 4?3z1?3i?3(z?1?i)??1?1?3i11?3(z?1?i)1?3i

3nn10??[z?(1?i)]z?(1?i)?n?13 n?0(1?3i),

(2)

sinz,z0?1

解:sinz?sin(z?1?1)?sin(z?1)cos1?sin1cos(z?1)

?(?1)n(z?1)2n?1(?1)n(z?1)2n?cos1??sin1?(2n?1)!2n!n?0n?0

?(sinz)(n)?sin(z?n?)2或:

sinz????,(sinz)(n)?sin(1?n?)z?12

?故

1n?sin(?1)(z?1)n,z?1??2n?0n!

2.将下列各函数在指定圆环域内展为Laurent级数。

(1)

ze,0?z??221z

?2?n?2?1zz1z(1????)??2zz2!n!n?0解:ze=

z2?2z?5,1?z?22(2)(z?2)(z?1)

1?z?2解:奇点为z?2,?i,故可在中展开为洛朗级数。

26

复变函数与积分变换习题解答

z?2z?512??(z?2)(z2?1)z?2z2?11?z2??()?2z=2n?02n2??1z2(1?)2?2z2(1?1)2z

1(?)?2zn?0

?n1,22(z?1)3.将在z?i的去心邻域内展为Laurent级数。

??1?1????(?1)n(z?i)n2i?1?z?i?1?n?1因?(2i)n?02i??z?1解:=

?1111?1(z?i)n?3n?1??()???ni22222n?1(z?i)(z?1)(z?i)(z?i)(z?i)2n?0所以 。

1f(z)?cos(z?)z以z的各幂表出的Lanrent展开式中的各系数为: 4.证明在Cn?12??2?0cos(2cos?)cosn?d?,n?0,?1,??

提示:令C为单位圆

z?1i?,在C上取积分变量z?e,则

z?1?2cos?,dz?iei?d?z。

0?z?1c:z?1证明:f(z)在上解析,令

在c上取z?e则

i?z?1?2cos?zdz?iej?d?

?Cn?1f(z)12?cos(2cos?)i?dz?ied?n?1n?1)i???c0(2?iz2?ie

1? 2??2?0icos(2cos?)cosn?d??2?

?2?0cos(2cos?)sin?d?

? 而

2?0cos(2cos?)sinn?d??01?cn?2?

?2?0cos(2cos?)cosn?d?

27

复变函数与积分变换习题解答

*5.思考题

(1)实变函数中函数展成Taylor级数和复变量函数中函数展开为Taylor级数的条件有什么不同?

答:在实变量函数的情形下,即使f(x)的各阶导数都存在,欲把函数展开成幂级数也未必可能。这是因为在实变量函数里,函数f(x)展开成Taylor级数的条件既要求f(x)具有各阶导函数,还要求所展成的Taylor级数的余项趋向于零,对于一个具体的函数来说,要证明其各阶导数都存在,已不容易,要证明其级数的余项趋近于零就更困难了。而对复变函数来讲,只要函数在

z0的邻域内处处解析,不仅有一阶导数,且有各阶导数。而实函数的可导性不能

保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在。

(2)确定f(z)的Taylor级数的收敛半径时,应注意什么?奇点为什么在收敛圆周上? 答:一般地,f(z)在解析区域D内一点

z0的Taylor级数的收敛半径,等于z0到D的边

R???z0,?f(z)z界上各点的最短距离。但f(z)在D内有奇点时,是的距0最近的一个

奇点。因此,在确定f(z)的Taylor级数的收敛半径时,要确定f(z)在D内有无奇点,并找出距

z0距离最近的一个奇点。

奇点总是落在收敛圆周上,因为若在收敛圆内,则在圆内出现f(z)的不解析点;若在圆外,则收敛圆还可扩大。

(3)Laurent级数与Taylor级数有何关系?

zz 答:Laurent级数与Taylor级数的关系是:当已给函数f(z)在点0处解析时,中心在0,

半径等于由

z0到函数f(z)的最近奇点的距离的那个圆域可以看成圆环域的特殊情形。在其中

C?n(n?1,2,?)都等

就可以作出罗伦级数展开式,根据柯西积分定理,这个展式的所有系数

于零。在此情形下,计算罗伦级数的系数公式与Taylor级数的系数公式相同,所以罗伦级数就转化为Taylor级数。因此,Taylor级数是罗伦级数的特殊情形。

28

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)