复变函数与积分变换习题解答
答：由于级数
??n?1?n的各项都为非负实数，故级数
??n?1?n的绝对收敛性可依正项级数的定
理判定之。又由于级数
??n?1?n可表示为n?1???n??an?i?bnn?1n?1??，其中n?1?a?n及
?bn?1?n均为数
项级数，故级数n?1???n?0?n的收敛性可依赖于数项级数的定理判定之。
n（2）判定级数
?a收敛的必要条件是什么？
?an?0?n绝对收敛的充要条件又是什么？
答：如同实级数一样，
?an?0?n收敛的必要条件是n??lim?n?0;而
?an?0?n绝对收敛的充要条件
是n?0?Rea?n与n?0?Ima?n都是绝对收敛级数。
（3）为什么说函数能展为幂级数与函数为解析函数是等价的？
答：因为在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数。同时，在某点邻域内解析的函数在其邻域内必然可以展成幂级数。
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复变函数与积分变换习题解答
练 习 八
1．求下列函数在指定点
z0处的Taylor展式。
1,z0?1?i4?3z（1）
4104R??1?i?z?f(z)33 3，其收敛半径为 解：只有一个奇点
11? 则 4?3z1?3i?3(z?1?i)??1?1?3i11?3(z?1?i)1?3i
3nn10??[z?(1?i)]z?(1?i)?n?13 n?0(1?3i)，
（2）
sinz,z0?1
解：sinz?sin(z?1?1)?sin(z?1)cos1?sin1cos(z?1)
?(?1)n(z?1)2n?1(?1)n(z?1)2n?cos1??sin1?(2n?1)!2n!n?0n?0
?(sinz)(n)?sin(z?n?)2或：
sinz????,(sinz)(n)?sin(1?n?)z?12
?故
1n?sin(?1)(z?1)n,z?1??2n?0n!
2．将下列各函数在指定圆环域内展为Laurent级数。
（1）
ze,0?z??221z
?2?n?2?1zz1z(1????)??2zz2!n!n?0解：ze=
。
z2?2z?5,1?z?22（2）(z?2)(z?1)
1?z?2解：奇点为z?2,?i，故可在中展开为洛朗级数。
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复变函数与积分变换习题解答
z?2z?512??(z?2)(z2?1)z?2z2?11?z2??()?2z=2n?02n2??1z2(1?)2?2z2(1?1)2z
1(?)?2zn?0
?n1,22(z?1)3．将在z?i的去心邻域内展为Laurent级数。
??1?1????(?1)n(z?i)n2i?1?z?i?1?n?1因?(2i)n?02i??z?1解：=
?1111?1(z?i)n?3n?1??()???ni22222n?1(z?i)(z?1)(z?i)(z?i)(z?i)2n?0所以 。
1f(z)?cos(z?)z以z的各幂表出的Lanrent展开式中的各系数为： 4．证明在Cn?12??2?0cos(2cos?)cosn?d?,n?0,?1,??
提示：令C为单位圆
z?1i?，在C上取积分变量z?e，则
z?1?2cos?,dz?iei?d?z。
0?z?1c:z?1证明：f(z)在上解析，令
在c上取z?e则
i?z?1?2cos?zdz?iej?d?
?Cn?1f(z)12?cos(2cos?)i?dz?ied?n?1n?1)i???c0(2?iz2?ie
1? 2??2?0icos(2cos?)cosn?d??2?
?2?0cos(2cos?)sin?d?
? 而
2?0cos(2cos?)sinn?d??01?cn?2?
?2?0cos(2cos?)cosn?d?
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复变函数与积分变换习题解答
*5.思考题
（1）实变函数中函数展成Taylor级数和复变量函数中函数展开为Taylor级数的条件有什么不同？
答：在实变量函数的情形下，即使f(x)的各阶导数都存在，欲把函数展开成幂级数也未必可能。这是因为在实变量函数里，函数f(x)展开成Taylor级数的条件既要求f(x)具有各阶导函数，还要求所展成的Taylor级数的余项趋向于零，对于一个具体的函数来说，要证明其各阶导数都存在，已不容易，要证明其级数的余项趋近于零就更困难了。而对复变函数来讲，只要函数在
z0的邻域内处处解析，不仅有一阶导数，且有各阶导数。而实函数的可导性不能
保证导数的连续性，因而不能保证高阶导数的存在。
（2）确定f(z)的Taylor级数的收敛半径时，应注意什么？奇点为什么在收敛圆周上？ 答：一般地，f(z)在解析区域D内一点
z0的Taylor级数的收敛半径，等于z0到D的边
R???z0,?f(z)z界上各点的最短距离。但f(z)在D内有奇点时，是的距0最近的一个
奇点。因此，在确定f(z)的Taylor级数的收敛半径时，要确定f(z)在D内有无奇点，并找出距
z0距离最近的一个奇点。
奇点总是落在收敛圆周上，因为若在收敛圆内，则在圆内出现f(z)的不解析点；若在圆外，则收敛圆还可扩大。
（3）Laurent级数与Taylor级数有何关系？
zz 答：Laurent级数与Taylor级数的关系是：当已给函数f(z)在点0处解析时，中心在0，
半径等于由
z0到函数f(z)的最近奇点的距离的那个圆域可以看成圆环域的特殊情形。在其中
C?n(n?1,2,?)都等
就可以作出罗伦级数展开式，根据柯西积分定理，这个展式的所有系数
于零。在此情形下，计算罗伦级数的系数公式与Taylor级数的系数公式相同，所以罗伦级数就转化为Taylor级数。因此，Taylor级数是罗伦级数的特殊情形。
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