复变函数与积分变换习题解答
?2?i?2?i?0
5．计算下列积分值：
?i?（1）
解：
0sinzdz
??i0?i??coszsinzdz0?1?cos?i
zezdz
（2）
?11?i1解：
?1?i1?izzz1?i1?i?zde?(ze?e)?iezedz?11z
6．当积分路径是自?i沿虚轴到i，利用积分性质证明：
?i?i(x2?iy2)dz?2i
ii?i证：
2222(x?iy)dz?(x?iy)dz??y2ds?1.2?2??i??i
*7.思考题
（1）在积分的定义中为什么要强调积分f(z)“沿曲线C由?到?的积分”？它与“沿曲线C由?到?的积分”有什么区别？
?答：在定积分中已有
baf(x)dx???f(x)dxba，即积分是与区间的方向有关的，这里
w?f(z)在C上的积分也与C的方向有关。这从积分和式
sn??f(?k)?zkk?1n中的因子
?zk?zk?zk?1可直接看出，若改变C的方向，即f(z)是沿曲线C由?到?积分，则积分
与原积分反号：
?
?1Cf(z)dz???C?f(z)dz
其中C表示C的反向曲线。
（2）复函数f(z)的积分与实一元函数定积分是否一致？ 答：若C是实轴上的区间[?,?]，由定义知
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复变函数与积分变换习题解答
?Cf(z)dz??f(x)dx,??
即为一个实函数的积分，如果f(x)是实值的，则为一元实函数的定积分，因而这样定义复变函数积分是合理的，而且可以把高等数学中的一元实函数的定积分当作复积分的特例看待。
应当注意的是，一般不能把起点为?，终点为?f(z)dz?f(z)?的函数的积分记作，因
C??为这是一个线积分，要受积分路线的限制，必须记作
（3）应用柯西——古萨定理应注意些什么？
f(z)dz.
答：必须注意定理的条件“单连域”，被积函数虽然在B内处处解析，但只要B不是单连
的，定理的结论就不成立。例如
f(z)?113?z?z在圆环域：22内解析，C为域内以原点为
1?dz?2?i?Cz中心的正向圆周，但，就是因为不满足“单连域”这个条件。
?还要注意定理不能反过来用，即不能因为有
例如
Cf(z)dz?0，而说f(z)在C内处处解析，
1?dz?02?z?1z,但
f(z)?1z2在z?1内并不处处解析。
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练 习 六
1．计算下列积分
2z2?z?1dz?z?2z?1（1）
解：z?1为奇点：
2z2?z?12dz?2?i(2z?z?1)?4?i?z?2z?1z?1
ezdz?z?1z100（2） 2?iz2?ie?99!z?099! 解：
?（3）
sinzz?2(z?)22sinz?dz
?解：
z?2(z?)2?2dz?2?i(sinz)?z???2?icosz2z??2=0
coszdz?C:z?2;C2:z?3c?c1?c2z3（4），其中1为负向。
coszcoscoszdz?dz?3??c1z3?c2z3dz
解：c?c1?c2z?(coszcosz?)?(cosz)??z?0?02!2!
或
???c1c2?????????0c1c2c1c2
2．若f(z)是区域G内的非常数解析函数，且f(z)在G内无零点，则f(z)不能在G内取到它的最小模。
1证：设g(z)?f(z)， 因f(z)为非常数解析函数，且?z?G
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f(z)?0
复变函数与积分变换习题解答
则g(z)为非常数解析函数 所以g(z)在G内不能取得最大模 即f(z)不能在G内取得最小模
1f?()?8z?1z?1f(z)?z?z,23.设f(z)在上解析，且在上有试证。
证：因
f(z)?z?f(z)?z?z （在
z?1上） 所以
f(z)?2,(z?1)
11?f?()?22?i?12?2z?1f(z)?z?z1dz?12?(z?)22?z?1f(z)?z?zdz12(z?)2
??2zz?1z?12ds?1??z?11ds?814
1111(z??x2?y2?x??1?x??,(x,y)在z?12444上
4．设f(z)与g(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于
D，如果f(z)=g(z)在C上所有点处成立，试证在C内所有的点处f(z)=g(z)也成立。
证：设F(z)?f(z)?g(z)，因f(z),g(z)均在D内解析，所以F(z)在D内解析。
在C上，F(z)?0,(z?c)， 所以 由
?z0?c有：
F(z0)?1F(z)dz?02?i?cz?z0
f(z0)?g(z0)
z0的任意性可知：在C内f(z)?g(z)
*5．思考题
（1）复合闭路定理在积分计算中有什么用处？要注意什么问题？
答：由复合闭路定理，可以把沿区域外边界线的回路积分转化为沿区域内边界线的积分，从而便于计算。特别地，如果积分回路的内域中含有被积函数的有限个奇点，我们就可以挖去包含这些点的足够小的圆域（包括边界），函数在剩下的复连域解析，由复合闭路定理，就可以将大回路的积分换成分别沿这些小圆周的回路积分。
利用复合闭路定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法。
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