复变函数与积分变换习题解答
解：
e?1?3i?2(cosz??sin)?2e33?i(?2k?)3??e1n2?i(2k??)3?k?z
?z?ln2?i(2k???3)k?z
（2）sinz?cosz?0 解：由题设可知：ei2z??i
?z?k???4,k?z
6．求下列各式的值： （1）Ln(?3?4i) 解：Ln(?3?4i)
解：Ln33?i
?33?3?i?27?e?iLn3?27?e?i(ln3?i2k?)?27e?iln3?2k??27e2k?[cos(ln3)?isin(ln3)]
?ln5?iarg(?3?4i)4?ln5?i(2k????aratg)3
（2）3（3）e解：e3?i
2?i2?i?e2?ei?1
?e2(cos1?isin1)
*7.思考题
（1）为什么复变指数函数是周期函数，而实变指数函数没有周期？
答：由于实数是复数的特例，因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时，要使定义的各种复变初等函数当z取实数x时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变，但不能保持所有的性质不变。
z复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数z，一般没有e?0。而
复变指数函数的周期性，仅当周期是复数（2k?i）时才显现出来。所谓实变指数函数e没有周期，是指其没有实的周期。
（2）实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同？
答：两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的，而且导数的形式、加法定理、正
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余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。
最大的区别是，实变三角函数中，正弦函数与余弦函数都是有界函数，但在复变三角函数中，
sinz?1与
cosz?1不再成立。因为
eiz?e?iz1sinz??eiz?e?iz22?1ize?e?iz21?e?y?ey2
?yye?0,e???。故sinz???. y???当时，
（3）怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同？并理解复变对数函数的运算性质。 答：因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数，
Lnz?lnz?iArgz.
Lnz的主值即lnz?lnz?iargz，是单值函数，当z?x，而x?0时，lnz就与高等数
学中的lnx值一致了。
在复变对数函数的运算性质中，注意到等式
ln(z1z2)?lnz1?lnz2与ln(z1/z2)?lnz1?lnz2,
要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的，但在复变指数函数中，例如，
Ln(z1z2)?Lnz1z2?iArg(z1z2).
lnz1?lnz1?iArgz1,lnz2?lnz2?iArgz2,lnz1z2?lnz1?lnz2，
而
Arg(z1z2)?Argz1?Argz2
应理解为：任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值，左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的（即不能只考虑某一单值支）。后一式也同样理解，但对等式 nLnz?Ln(z)和
nLnnz?1Lnz,n
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i?n它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对nLnz?Lnz，取n?2时，设z?re，
22i2?得2Lnz?2lnr?i(2??4k?).k?0,?1,?2,?而从z?re，得
22Ln(z)?lnr?i(2??2m?),m?0,?1,?2,?
两者的实部是相同的，但虚部的可取值不完全相同。 （4）调和函数与解析函数有什么关系？
答：如果f(z)?u?iv是区域D内的解析函数，则它的实部u和虚部v的二阶偏导数必连续，从而满足拉普拉斯方程，所以是调和函数。
由于解析函数的导函数仍是解析函数，所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是f(z)的相应阶导数的实部和虚部，所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出：u、v的任意阶偏导数仍是调和函数。
（5）若v是u的共轭调和函数，可以说u是v的共轭调和函数吗？ 答：不行，两者的地位不能颠倒。因为，若v是u的共轭调和函数，则应有
?u?v?v?u?v?u?u?v?,??;?,??,?x?y?x?y而u是v的共轭调和函数，要求?x?y?x?y两者一般不能同
时成立，所能推知的是?u是v的共轭调和函数。
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练 习 五
?1．计算积分?解：
??11?i0[(x?y)?ix2]dz，积分路径：自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i。
1?i0[(x?y)?ix2]dz2
(1,0)(0,0)(1,i) (1,0)(0,0)[(x?y)?ix]dz??210[(x?y)?ix)]dz0 2
??(x?ix)dx?i?(1?y?i)dy015???i26
2．计算积分
?czdzz的值，其中C为（1）
z?2;（2）
z?4.
i?解：令z?re 则
?z?r?i?2?rezdz??riei?d??2?ri0zr
当r?2时，为4?i 当r?4时，为8?i
ezdz?z?1z?2cz3．求积分的值，其中C为由正向圆周与负向圆周所组成。 ezezezdz??dz??dz?czz?2zz?1z解： ?2?i?2?i?0
D C2 C1 y 1 2 1dz?z?2.cz2?z4．计算，其中C为圆周 1dz?cz2?z解：
??
111dz??dz??dzz?2z(z?1)z?2(z?1)z?2z
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