复变函数与积分变换习题解答

复变函数与积分变换习题解答

解:

e?1?3i?2(cosz??sin)?2e33?i(?2k?)3??e1n2?i(2k??)3?k?z

?z?ln2?i(2k???3)k?z

(2)sinz?cosz?0 解:由题设可知:ei2z??i

?z?k???4,k?z

6.求下列各式的值: (1)Ln(?3?4i) 解:Ln(?3?4i)

解:Ln33?i

?33?3?i?27?e?iLn3?27?e?i(ln3?i2k?)?27e?iln3?2k??27e2k?[cos(ln3)?isin(ln3)]

?ln5?iarg(?3?4i)4?ln5?i(2k????aratg)3

(2)3(3)e解:e3?i

2?i2?i?e2?ei?1

?e2(cos1?isin1)

*7.思考题

(1)为什么复变指数函数是周期函数,而实变指数函数没有周期?

答:由于实数是复数的特例,因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时,要使定义的各种复变初等函数当z取实数x时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变,但不能保持所有的性质不变。

z复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数z,一般没有e?0。而

复变指数函数的周期性,仅当周期是复数(2k?i)时才显现出来。所谓实变指数函数e没有周期,是指其没有实的周期。

(2)实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?

答:两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正

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余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。

最大的区别是,实变三角函数中,正弦函数与余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,

sinz?1与

cosz?1不再成立。因为

eiz?e?iz1sinz??eiz?e?iz22?1ize?e?iz21?e?y?ey2

?yye?0,e???。故sinz???. y???当时,

(3)怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同?并理解复变对数函数的运算性质。 答:因为我们把对数函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数,

Lnz?lnz?iArgz.

Lnz的主值即lnz?lnz?iargz,是单值函数,当z?x,而x?0时,lnz就与高等数

学中的lnx值一致了。

在复变对数函数的运算性质中,注意到等式

ln(z1z2)?lnz1?lnz2与ln(z1/z2)?lnz1?lnz2,

要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的,但在复变指数函数中,例如,

Ln(z1z2)?Lnz1z2?iArg(z1z2).

lnz1?lnz1?iArgz1,lnz2?lnz2?iArgz2,lnz1z2?lnz1?lnz2,

Arg(z1z2)?Argz1?Argz2

应理解为:任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值,左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的(即不能只考虑某一单值支)。后一式也同样理解,但对等式 nLnz?Ln(z)和

nLnnz?1Lnz,n

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i?n它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对nLnz?Lnz,取n?2时,设z?re,

22i2?得2Lnz?2lnr?i(2??4k?).k?0,?1,?2,?而从z?re,得

22Ln(z)?lnr?i(2??2m?),m?0,?1,?2,?

两者的实部是相同的,但虚部的可取值不完全相同。 (4)调和函数与解析函数有什么关系?

答:如果f(z)?u?iv是区域D内的解析函数,则它的实部u和虚部v的二阶偏导数必连续,从而满足拉普拉斯方程,所以是调和函数。

由于解析函数的导函数仍是解析函数,所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是f(z)的相应阶导数的实部和虚部,所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出:u、v的任意阶偏导数仍是调和函数。

(5)若v是u的共轭调和函数,可以说u是v的共轭调和函数吗? 答:不行,两者的地位不能颠倒。因为,若v是u的共轭调和函数,则应有

?u?v?v?u?v?u?u?v?,??;?,??,?x?y?x?y而u是v的共轭调和函数,要求?x?y?x?y两者一般不能同

时成立,所能推知的是?u是v的共轭调和函数。

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练 习 五

?1.计算积分?解:

??11?i0[(x?y)?ix2]dz,积分路径:自原点沿实轴至1,再由1铅直向上至1+i。

1?i0[(x?y)?ix2]dz2

(1,0)(0,0)(1,i) (1,0)(0,0)[(x?y)?ix]dz??210[(x?y)?ix)]dz0 2

??(x?ix)dx?i?(1?y?i)dy015???i26

2.计算积分

?czdzz的值,其中C为(1)

z?2;(2)

z?4.

i?解:令z?re 则

?z?r?i?2?rezdz??riei?d??2?ri0zr

当r?2时,为4?i 当r?4时,为8?i

ezdz?z?1z?2cz3.求积分的值,其中C为由正向圆周与负向圆周所组成。 ezezezdz??dz??dz?czz?2zz?1z解: ?2?i?2?i?0

D C2 C1 y 1 2 1dz?z?2.cz2?z4.计算,其中C为圆周 1dz?cz2?z解:

??

111dz??dz??dzz?2z(z?1)z?2(z?1)z?2z

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