复变函数与积分变换习题解答
若：若：
a?ba?b22，则Z的轨迹为圆，圆心在-a，半径为，无意义
a?b2 y (1,1) 2．用复参数方程表示曲线，连接1?i与?1?4i直线段。 解：z?(1?i)?[(?1?4i)?(1?i)]t 则z?(1?i)?(2?5i)t0 0?t?1
(-1,-4) (0?t?)
3．描出下列不等式所确定和区域与闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连域还是多连域？并标出区域边界的方向。
（1）解：由
z?1,Rez?12
y z?122x?y?1 ，得
又
Rez?11x?2，得2
0 有界，单连域
2（2）Rez?1
y 解：令 z?x?iy
222Rez?1?x?y?1 由
22 即：y?x?1
x -1 0 0 1 无界，单连域
5
复变函数与积分变换习题解答 z?1?2z?1（3） y 54(x?)2?y2?()233 解：令z?x?iy 则：无界，多连域 3/5 x 4．对于函数??f(z)?iz,D:Imz?0，描出当z在区域D内变化时，w的变化范围。 解：令z?x?iy
则w?f(z)?iz?i(x?iy)??y?ix ?Imz?0,则y?0 ?Rew??y?0,
?w的变化范围在第2,3象限,但不包括虚轴
0 u v Rez5.试证z?0z不存在。
limxRezlimlimx?0x?iyz?0z 证：=y?0
1 令y?kx 则：上述极限为1?ki不确定，因而极限不存在。
*6.思考题
（1）怎样理解复变函数w?f(z)？ 答：设w?u?iv,z?x?iy,则w?f(z)就是 u?iv?f(x?iy)?u(x,y)?iv(x,y)
?u?u(x,y)?v?v(x,y) 因此，一个复变函数f(z)与两个实变函数u(x,y)和v(x,y)相对应，从即 ?几何意义上来说，复变函数可以看作是z平面上的点集D到w平面上的点集G上的映射。
（2）设复变函数f(z)当z?z0时的极限存在，此极限值与z趋于z0所采取的方式（取的路径）有无关系？
6
复变函数与积分变换习题解答
答：没有关系，z以任意方式趋于z0时，极限值都是相同的，反过来说，若令z沿两条不同的曲线趋于z0时极限值不相等，则说明f(z)在z0没有极限，这与高等数学中的情形是类似的，只是一元实函数中，x只能从左、右以任何方式趋于x0，而这里可以从四面八方任意趋于z0。
7
复变函数与积分变换习题解答
练 习 三
1．用导数定义，求f(z)?zRez的导数。
解：?z?0limf(z??z)?f(z)(z??z)Re(z??z)?zRez?lim?z?0?z?z
zRe?z??zRez??zRe?zRe?z?lim(Rez?Re?z?z)?z?0?z?0?z?zRe?z?x?lim(Rez?)?lim(Rez?z?)?z?0?x?0?z?x?i?y?y?0?lim
当z?0时，导数不存在， 当z?0时，导数为0。
2．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？
（1）
f(z)?1z
f(z)?解：
1zxy?2?2?i2?u(x,y)?iv(x,y)2zx?iyx?yz
y2?x2ux?2(x?y2)2?2xyvx?2(x?y2)2uy??2xy(x2?y2)2x2?y2vy?2(x?y2)2
当且仅当x?y时， f(z)满足C?R条件，故当x?y时f(z)可导，但在复平面不解析。
3223f(z)?x?3xy?i(3xy?y) （2）
解：令f(z)?u(x,y)?iv(xy)
ux?3x2?3y2 则
vx??6xyvy?3x2?3y2
uy?6xy因f(z)在复平面上处处满足C?R条件，且偏导数连续，故f(z)可导且解析。 3．设my?nxy?i(x?lxy)为解析函数，试确定l,m,n的值。 解：由C?R条件可知： 2nxy?2lxy
3232所以 n?l
8