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10后面有5个比它小的数，我们说10有5个逆序；9后面有3个比它小的数，我们说9有3个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2依次有7，3，3，4，1，0，1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换
5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。
例6右图是一个5×6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以下规则继续染色： 如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。 这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？
分析与解：以一个方格的边长为1，开始时5个黑格的总周长不会超过4×5=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A与4个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少4；下中图中，A与3个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少2；右下图中，A与2个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而5×6方格盘的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。
练习17
1.黑板上写着1～15共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11，要写上15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？
2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？
3.口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1～101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？
4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第8次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？
5.六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？ 精品文档
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6.将1～10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？
7.在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？
答案与提示 练习17 1.106。
提示：操作一次，黑板上的数减少1个，数字总和减少1。经过14次操作，剩下的一个数是 （1+2+…+15）-14=106。 2.2次。
提示：若写的是奇数，则只需1次操作；若写的是大于2的偶数，则经过1次操作变为奇数，再操作1次变为2。 3.51。
提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。 4.758。
提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是 6×28-1=6×27=768。 5.4次。
提示：将各次操作表示如下：
（1，1，1，1，1，1）—→（0，3，1，1，1，0）—→（2，2，1，1，0，0）—→（4，1，1，0，0，0）—→（6，0，0，0，0，0）。 6.6次；42次。
提示：与例5类似，当十个数按1，2，3，10，4，5，6，7，8，9排列时，交换的次数最少，要交换6次；当十个数按9，8，7，10，6，5，4，3，2，1排列时，交换的次数最多，要交换42次。 7.不能。
解：要使第一列的两个数1，4都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数2，3都变成5的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。
因为（3+5n）除以5余3，（1+5m）除以5余1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现。 注：m，n可以是0或负数。 第18讲 取整计算
任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。比如，做 精品文档
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得到正确答案是2件。为了方便，我们引进符号［ ］： ［a］表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。
与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫
取整运算。显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a，b， （1）［a］≤a； （2）a≤［a］＋1；
（3）［a］＋［b］≤［a＋b］； （4）若a≤b，则［a］≤［b］；
（ 5）若n是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。 同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。 例 1计算［13÷［π］×4］。 解：［13÷［π］×4］ ［13÷3×4］
例2 1000以内有多少个数能被7整除？
分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目，现在我们用取整运算来重新计算。1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有
例3 求1～1000中能被2或3或5整除的数的个数。
都被重复计算了，应当减去。另外，同时能被2，3，5整除的数，开始被加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上
例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数？
分析：在1～1000中，除去“既不是3也不是7的倍数”的数，剩下的数或者是3的倍数，或者是7的倍数。用例3的方法可求出这部分数的个数。1000与这部分数的个数之差即为所求。 精品文档
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例5求下式约简后的分母：
分析与解：因为 6=2×3，所以分母中的500个6相乘，等于2500×3500。只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3，就可以与分母中的因子2和因子3约分了。因为分子的1000个因数中有500个偶数，所以至少有500个因子2，这样分母中的500个因子2将被全部约掉。分子中有因子3的数，有的只有1个因子3，有的有2个因子3，等等。因为
3=729＜1000＜3＝2187，所以分子的每个因数最多有6个因子3。
6
7
与分母约分后，分母还剩两个因子3。 所以，约简后的分母是9。
注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。因为式中的分子都是1000，分母依次是3，32，33，…后面一个是前面一个的3倍，所以在取整运算中，只需口算：1000除以3等于333（小数部分舍掉，下同），333除以3等于111，111除以3等于37，37除以3等于12，12除以3等于4，4除以3等于1。于是得到
333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。
在上面的运算中，当得数小于3时就自然停止，事先不必求出分母最大是3的几次方。 例6 在下面的等式中，M，n都是自然数，n最大可以取几？ 1×2×3×…×99×100＝12n×M。
分析与解：因为12=22×3，所以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3，这些因子2和因子3能“凑”出多少个12，问题就解决了。与例5类似，可求出等号左边因子2和因子3分别有
=50＋25＋12＋6＋3＋1=97（个）；
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