最新小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]

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10后面有5个比它小的数,我们说10有5个逆序;9后面有3个比它小的数,我们说9有3个逆序;类似地,8,7,6,5,4,3,2依次有7,3,3,4,1,0,1个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数,所以需交换

5+3+7+3+3+4+1+0+1= 27(次)。

例6右图是一个5×6的方格盘。先将其中的任意5个方格染黑。然后按以下规则继续染色: 如果某个格至少与两个黑格都有公共边,那么就将这个格染黑。 这样操作下去,能否将整个方格盘都染成黑色?

分析与解:以一个方格的边长为1,开始时5个黑格的总周长不会超过4×5=20。以后每染一个格,因为这个格至少与两个黑格都有公共边,所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中,A与4个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长将减少4;下中图中,A与3个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长将减少2;右下图中,A与2个黑格有公共边,染黑后,黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色,所有黑格的总周长永远不会超过20,而5×6方格盘的周长是 22,所以不能将整个方格盘染成黑色。

练习17

1.黑板上写着1~15共15个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1。例如,擦掉5和11,要写上15。经过若干次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是几?

2.在黑板上任意写一个自然数,然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数,称为一次操作。问:最多经过多少次操作,黑板上就会出现2?

3.口袋里装有101张小纸片,上面分别写着1~101。每次从袋中任意摸出5张小纸片,然后算出这5张小纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是几?

4.在一个圆上标出一些数:第一次先把圆周二等分,在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半圆弧分别二等分,在分点标上相邻两分点两数的平均数3(见右图)。第三次把四段弧再分别二等分,在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去,当第8次标完后,圆周上所有标出的数的总和是多少?

5.六个盘子中各放有一块糖,每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中,这样至少要做多少次,才能把所有的糖都集中到一个盘子中? 精品文档

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6.将1~10十个数随意排成一排。如果相邻两个数中,前面的大于后面的,那么就交换它们的位置。如此操作下去,直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数的第4位,那么最少要交换多少次?最多要交换多少次?

7.在右图的方格表中,每次给同一行或同一列的两个数加1,经过若干次后,能否使表中的四个数同时都是5的倍数?为什么?

答案与提示 练习17 1.106。

提示:操作一次,黑板上的数减少1个,数字总和减少1。经过14次操作,剩下的一个数是 (1+2+…+15)-14=106。 2.2次。

提示:若写的是奇数,则只需1次操作;若写的是大于2的偶数,则经过1次操作变为奇数,再操作1次变为2。 3.51。

提示:口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。 4.758。

提示:第一次标完数后,以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和,即每次标完数后,圆周上的所有数字之和是原来的2倍。第8次标完后的总和是 6×28-1=6×27=768。 5.4次。

提示:将各次操作表示如下:

(1,1,1,1,1,1)—→(0,3,1,1,1,0)—→(2,2,1,1,0,0)—→(4,1,1,0,0,0)—→(6,0,0,0,0,0)。 6.6次;42次。

提示:与例5类似,当十个数按1,2,3,10,4,5,6,7,8,9排列时,交换的次数最少,要交换6次;当十个数按9,8,7,10,6,5,4,3,2,1排列时,交换的次数最多,要交换42次。 7.不能。

解:要使第一列的两个数1,4都变成5的倍数,第一行应比第二行多变(3+5n)次;要使第二列的两个数2,3都变成5的倍数,第一行应比第二行多变(1+5m)次。

因为(3+5n)除以5余3,(1+5m)除以5余1,所以上述两个结论矛盾,不能同时实现。 注:m,n可以是0或负数。 第18讲 取整计算

任何一个小数(或分数)都可以分成整数和纯小数(或真分数)两部分。在数学计算中,有时会略去数字的小数部分,而只取它的整数部分。比如,做 精品文档

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得到正确答案是2件。为了方便,我们引进符号[ ]: [a]表示不超过数a的最大整数,称为a的整数部分。

与+,-,×,÷符号一样,符号[]也是一种运算,叫

取整运算。显然,取整运算具有以下性质:对于任意的数字a,b, (1)[a]≤a; (2)a≤[a]+1;

(3)[a]+[b]≤[a+b]; (4)若a≤b,则[a]≤[b];

( 5)若n是整数,则[ a+n]=[a]+n。 同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。 例 1计算[13÷[π]×4]。 解:[13÷[π]×4] [13÷3×4]

例2 1000以内有多少个数能被7整除?

分析与解:同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目,现在我们用取整运算来重新计算。1000以内能被7整除的数,从1开始每7个数有1个,所以共有

例3 求1~1000中能被2或3或5整除的数的个数。

都被重复计算了,应当减去。另外,同时能被2,3,5整除的数,开始被加了三遍,后来又被减了三遍,所以还应当补上

例4 1000以内有多少个数既不是3也不是7的倍数?

分析:在1~1000中,除去“既不是3也不是7的倍数”的数,剩下的数或者是3的倍数,或者是7的倍数。用例3的方法可求出这部分数的个数。1000与这部分数的个数之差即为所求。 精品文档

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例5求下式约简后的分母:

分析与解:因为 6=2×3,所以分母中的500个6相乘,等于2500×3500。只要我们求出分子中有多少个因子2、多少个因子3,就可以与分母中的因子2和因子3约分了。因为分子的1000个因数中有500个偶数,所以至少有500个因子2,这样分母中的500个因子2将被全部约掉。分子中有因子3的数,有的只有1个因子3,有的有2个因子3,等等。因为

3=729<1000<3=2187,所以分子的每个因数最多有6个因子3。

6

7

与分母约分后,分母还剩两个因子3。 所以,约简后的分母是9。

注意:在上面的计算中,并不需要真的这样计算。因为式中的分子都是1000,分母依次是3,32,33,…后面一个是前面一个的3倍,所以在取整运算中,只需口算:1000除以3等于333(小数部分舍掉,下同),333除以3等于111,111除以3等于37,37除以3等于12,12除以3等于4,4除以3等于1。于是得到

333+111+37+12+4+1=498(个)。

在上面的运算中,当得数小于3时就自然停止,事先不必求出分母最大是3的几次方。 例6 在下面的等式中,M,n都是自然数,n最大可以取几? 1×2×3×…×99×100=12n×M。

分析与解:因为12=22×3,所以只要求出等号左边有多少个因子2、多少个因子3,这些因子2和因子3能“凑”出多少个12,问题就解决了。与例5类似,可求出等号左边因子2和因子3分别有

=50+25+12+6+3+1=97(个);

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