方向向量为s?{m, n, p}，平面?的法向量为n={A, B, C}，
设直线l与平面?的法线之间的夹角为?，则???2??(如图8-23)．所以，
sin??cos??特别地
|s?n||Am?Bn?Cp|． (8-3-11) ?222222|s|?|n|m?n?p?A?B?Cl???s∥n?s?n=0?z mnp??． ABCl ? ? ? O y 图8-23
x 平面束
定义 通过定直线的所有平面方程的全体称为平面束。
定理 设直线L为?则过L的平面束方程为
?1(A1x?B1y?C1z?D1)??2(A2x?B2y?C2z?D2)?0 (8-3-12) 其中l,m是不全为零的任意实数.
?A1x?B1y?C1z?D1?0,其中系数A1,B1,C1和A2,B2,C2不成比例,
?A2x?B2y?C2z?D2?0例17 求直线??x?y?z?1?0在平面x?y?z?0上的投影直线方程.
?x?y?z?1?0?x?y?z?1?0 解 设经过直线L: ?的平面束方程为
x?y?z?1?0?
?1(x?y?z?1)??2(x?y?z?1)?0,
即
(?1??2)x?(?1??2)y?(??1??2)z?(??1??2)?0,
由于此平面与已知平面垂直,所以
(?1??2)?(?1??2)?(??1??2)?0,
即有?1???2,代入平面束方程得投影平面的方程为
y?z?1?0.
从而得投影直线l的方程: ??y?z?1?0
x?y?z?0.?习题8-3
1.指出下列平面位置的特点:
(1)5x?3z?1?0;(2)x?2y?7z?0;(3)y?5?0;
(4)2y?9z?0;(5)x?y?5?0;(6)x?0.2.求下列各平面的方程:(1)平行于y轴且通过点(1,?5,1)和(3,2,?2);(2)平行于Oxz平面且通过点(5,2,?8);(3)垂直于平面x?4y?5z?1且通过点(?2,7,3)及(0,0,0);(4)垂直于Oyz平面且通过点(5,?4,3)及(?2,1,8).
3.求通过点A(2,4,8),B(?3,1,5)及C(6,?2,7)的平面方程.4.设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面的方程.5.已知两点A(2,?1,?2)及B(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面. 6.求过点(2,0,?3)且与2x?2y?4z?7?0,3x?y?2z?5?0垂直的平面方程.
7.求通过x轴且与平面9x?4y?2z?3?0垂直的平面方程. ?x?2z?4?0?x?y?4?08.求通过直线l1:?且与直线l2:?平行的平面方程.3y?z?8?0y?z?6?0??9.求过两点M1(3,-2,1)和M2(?1,0,2)的直线方程.
?x?3t?8x?3y?1z?2?10.求直线l1:??与直线l2:?y?t?1的交点坐标, 324?z?2t?6?并求通过此两直线的平面方程.11.求过点(1,2,1)且与两直线??x?2y?z?1?0?2x?y?z?0平行的平面方程. 和??x?y?z?1?0?x?y?z?0
12.将下列直线方程化为对称式方程及参数方程:?2x?y?z?1?0?x?3z?5?0(1)?(2)??3x?y?2z?8?0;?y?2z?8?0.13.求通过点(3,2,?5)及x轴的平面与平面3x?y?7z?9?0的交线方程.
14.求直线??x+y?3z?0与平面x?y?z?1?0的夹角.
?x?y?z?0?x?2z?4?0?x?y?4?015.试求通过直线l1:?并与直线l2:?平行的平面方程.
3y?z?8?0z?y?6?0??xy?4z?316.求点(1,2,3)到直线??的距离.
1?3?217.求点(2,1,3)到平面2x?2y?z?3?0的距离与投影.
x?1y?1zxy?1z?1??与??的距离. 1?231?23x?1y?1z19.求过点A(2,1,3)并与直线l1:??垂直且相交的直线方程.
32?118.求两平行直线20.求两平行平面3x?6y?2z?7?0与3x?6y?2z?14?0之间的距离.
21.求点P(3,?1,2)到直线?
?x?y?z?1?0的距离.
?2x?y?z?4?0第4节 空间曲面及其方程
曲面方程的概念
空间曲面方程的意义与平面解析几何中曲线与方程的意义相仿，那就是在建立了空间直角坐标系之后，任何曲面都看成点的几何轨迹，由此可以定义空间曲面的方程．
定义1 如果曲面?与方程
F(x, y, z)?0,
满足
(1) 曲面?上每一点的坐标都满足方程F(x, y, z)?0； (2) 以满足方程F(x, y, z)?0的解为坐标的点都在曲面?上．
则称方程F(x, y, z)?0为曲面?的方程，而称曲面?为此方程的图形（图8-24）．
图8-24 图8-25
下面我们在直角坐标系下，举例说明怎样从曲面上的点的特征性质来导出曲面的方程.
例1 求联结两点A（1,2,3）和B（2，-1,4）的线段的垂直平分面的方程.
解 垂直平分面可以看成到两定点A和B为等距离的动点M（x，y，z）的轨迹.设M（x，y，z）为所求平面上的任意一点，根据点M的特性|AM|=|BM|， 而
MA?MB??x?1?2??y?2?2??z?3?2,?x?2?2??y?1???z?4?.22
所以
?x?1?2??y?2?2??z?3?2
化简得 2x?6y?2z?7?0. 这就是所求的垂直平分面的方程.
??x?2?2??y?1?2??z?4?2,
例2 设球面的中心是点C(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程(图8-25).