高等代数习题

a (1,2,2) + b(3,0,4)+ c (5,-2,6) = (0,0,0).

4.令 个向量

= (1,0,0),

= (0,1,0),

1

123

=(0,0,1).证明,R3中每的形式,这里a1,a2,a3

可以唯一地表示为

= a1 + a2

2

+ a3

3

R.

5.证明,在数域F上向量空间V里,以下算律成立:

(i)a ( (ii) (a- b) ) = a - a ;

= a - b , 这里a,b F , , V.

6.证明:数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量,那么它一定含有无限多个向量.

7.证明,对于任意正整数n 和任意向量

,都有 n

=

+?+

8.证明,向量空间定义中条件3o,8)不能由其余条件推出. 9.验证本节最后的等式:

,?,

)(AB) =((

,?,

)A)B.

1n1n

§6.2 子空间

1.判断R n中下列子集哪些是子空间:

(i) {(a1,0,?,0,an)| a1,an R};

(ii) {(a1 ,a2 ,?,an )| ai =0};

(iii) {(a1 ,a2 ,?,an )|

29

ai =1};

(iv) {(a1 ,a2 ,?,an )| ai Z ,i = 1,?,n}.

2.Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间(参看6.1,例2)令

S={ A Mn (F) |A′= A},

T={ A Mn (F) |A′= –A}.

证明,S和T都是 Mn (F)的子空间,并且 Mn(F) = S + T,S T={0}.

3.设W1,W2是向量空间V的子空间,证明:如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ,那么它一定包W1 +W2 .在这个意义下,W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间. 4.设V是一个向量空间,且V 集.

5.设W,W1,W2都是向量空间V的子空间,其中W1 {0}.证明:V不可能表成它的两个真子空间的并

W2且W W1=W W2,

W + W1=W + W2 .证明:W1=W2.

6.设W1,W 2是数域F上向量空间V的两个子空间,

,

是V的两个向量,其中

W2,但

W1,又

W2,证明:

(i) 对于任意k F, +k

W2 ;

(ii) 至多有一个k F,使得

7.设W1,W2 ,?,Wr 是向量空间V的子空间,且Wi

在一个向量

V,使得

Wi, ?i=1,?,r.

+k

W1 .

V,i=1,?,r. 证明:存

[提示:对r作数学归纳法并且利用第6题的结果.]

§6.3 向量的线性相关性

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1.下列向量组是否线性相关:

(i)(3,1,4),(2,5,-1),(4,-3,7); (ii) (2,0,1),(0,1,-2),(1,-1,1);

(iii) (2,-1,3,2),(-1,2,2,3),(3,-1,2,2),(2,-1,3,2). 2.证明,在一个向量组{ 即

=k,

,那么{

}里,如果有两个向量

}线性相关.

成比例,

3.令 。证明

线性相关必要且只要

行列式 = 0.

4.设

数,得到

的m个向量 ,?, }也线性无关

,线性无关.对每一个

任意添上p个.

证明{ 5.设

1 , 2 m线性无关,证明

} (

也线性无关.

6.设向量组{ 量组

线性无关,任取

线性无关.

.证明,向

7.下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例: (i) 如果当 性无关.

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,那么

线

(ii) 如果

(iii) 如果 合. (iv) 如果

8.设向量 向量组{

9.设向量组

可以由

线性无关,而

也线性无关.

不能由 线性表示,那么

线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组

线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合.

表示,但不能由

并且每一

}等价.

线性表示.证明,

}与向量组{

都不能表成它的前

个向量

的线性组合.证明

10.设向量 者 与{

线性无关,而

线性无关.

, , 线性相关,证明,或

}

与 中至少有一个可以由

, }等价.

线性表示,或者向量组{

§6.4 基和维数

1.令Fn [x]表示数域F上一切次数 n的多项式连同零多项式所组成的向量空间.这个向量空间的维数是几?下列向量组是不是F3 [x]的基: (i){x3+1,x+1,x2+x,x3+x2+2x+2}; (ii){x-1,1-x2,x2+2x-2,x3}.

2.求下列子空间的维数:

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