14． 设 证明：
互素的充要条件是存在多项式
使得
15． 设 令
比照定理1.4.2，证明：为零，取因式．]
有最大公因式．[提示：如果
就是
不全
的一个最大公
是I中次数最低的一个多项式，则
§2.4 多项式的分解
1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：
2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.
3. 证明： 当且仅当
4. 求 在 内的典型分解式；
求 在 内的典型分解式
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5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式的充分且必要条件是对于任意使得
或者
是 中某一不可约多项式的幂 或者存在一个正整数
6．设要
是 就有
中一个次数大于零的多项式.如果对于任意
或
那么
不可约.
只
§2.5 重因式
1. 证明下列关于多项式的导数的公式：
2. 设 是 的导数 的 重因式.证明：
未必是 的 重因式；
是 的 重因式的充分且必要条件是
3. 证明有理系数多项式
没有重因式.
4.
应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？
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5. 证明：数域F上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是
， 这里的 是F中的数 。
§2.6 多项式函数 多项式的根
1．设 ,求 .
2．数环R的一个数 说是除,但不能被
的一个 重根,如果 可以被 整
整除.判断5是不是多项式
的根.如果是的话,是几重根?
3．设
[提示:应用综合除法．] 4．将下列多项式
表成
的多项式.
求
; .
5．求一个次数小于4的多项式 ,使
6．求一个2次多项式,使它在 处与函数 有相同的值.
7．令 是两个多项式,并且 可以被 整除.
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证明
8．令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令
证明: 在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式
都可以写成
的形式,这里
,使得 中每一多项式
.
在 中不可约. 如果 ,求上述的
[提示:取 是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]
9．设 中多项式 且 , 是一个大于1的整数.
证明: 的根只能是零或单位根.
[提示:如果 是 的根,那么 都是 的根.]
§2.7 复数和实数域上多项式
1．设 次多项式 的根是 .求
以 为根的多项式,这里 是一个数。
（ii）以
1?1?2,
1,…,
1?n(假定 都不等于零)为根的多项式.
2．设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所
得多项式.证明:
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