利用 证明,素数有无限多个．
§1.5数环和数域
1．证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数．
2．证明, 是数域．
3．证明, 是一个数环, 是不是数域?
4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?
5．设是一整数,令
由例1,
是一个数环.设
,记
．
证明: 是一个数环．
．
,这里 是 与 的最大公因数．
．
第二章 多项式
§2.1一元多项式的定义和运算
5
1．设 和 是实数域上的多项式．证明：若是
(6) ，那么
2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和
3．证明：
§2.2 多项式的整除性
1．求
被
除所得的商式和余式：
( i )
(ii)
2．证明： 必要且只要
3．令 都是数域F上的多项式，其中 证明：
且
4．实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式
5．设F是一个数域， 证明： 整除
6．考虑有理数域上多项式
6
这里 和 都是非负整数．证明：
7．证明： 整除 必要且只要 整除
§2.3 多项式的最大公因式
1. 计算以下各组多项式的最大公因式：
( i )
(ii)
2. 设 不全为零，则的一个最大公因式．
3. 令
与
是
证明：若
反之，若
则
是
且
与
和
的多项式，而 是 中的数，并且
证明：
4． 证明： （i） 是 和 的最大公因式；
（ii）
此处 等都是 的多项式。
5． 设多项式。求
都是有理数域Q上的
使得
7
6． 设意正整数
令 是任意正整数，证明：
，都有
由此进一步证明，对于任
7． 设 证明：
8． 证明：对于任意正整数 都有
9． 证明：若是 里的数低于
与
与 互素，并且 与 的次数都大于0，那么定理
的次数，
的次
可以如此选取，使得
与
的次数低于 是唯一的。
的次数，并且这样的
10． 决定 ，使 与 的最大公因式是一次的。
11． 证明：如果 那么对于任意正整数 ，
12． 设 是数域F上的多项式。
：
与 的最小公倍式指的是F[x]
中满足以下条件的一个多项式
且 ；
如果 ∈F[x]且 ，那么
证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
设
都是最高次项系数是1的多项式，令
表示
和
的
最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明
13． 设
并且
8
证明：