高等代数习题

(ii)dim Ker(

6.设 并且V = W1

) + dim Im(

) = n.。

是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射.W1,W2是V的子空间,W2.证明:

有逆映射的充要条件是V =

(W1)

(W1) .

§7.2 线性变换的运算

1.举例说明,线性变换的乘法不满足交换律. 2.在F[x]中,定义

:f (x) :f (x)

这里f’(x)表示f(x)的导数.证明,

f’(x) , xf (x) ,

, 都是F[x]的线性变换,并且对于任意正整数

n都有

n

n

= n

n-1

3.设V是数域F上的一个有限维向量空间.证明,对于V的线性变换 来说,下列三个条件是等价的:

(i)

是满射; (ii)Ker(

) = {0}; (iii)

非奇异.

当V不是有限维时,(i),(ii)是否等价?

4.设

k

L (V), V,并且 , ( ),?,

k-1

k-1

( )都不等于零,但

( ) = 0.证明: , ( ),?, ( ) 线性无关.

5.

L (V) .证明

(1) Im(

) ) )

Ker(

)当且仅当

2

= ;

(2) Ker( Ker(

2

2

) Ker(

3

3

)

?;

(3) Im(

Im(

37

) Im( )

?.

6.设Fn = { (x1,x2 ,?,xn ) | xi F }是数域F上n 维行空间.定义

(x1,x2 ,?,xn ) = (0,x1 ,?,xn-1 ) . (i) 证明:

是F的一个线性变换,且

) 的维数.

n

n

= ;

(ii) 求Ker( )和Im(

§7.3 线性变换和矩阵

1.令Fn[x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间,

:f (x)

f’(x) ,求?关于以下两个基的矩阵:

(1) 1,x ,x2 ,?,xn,

(2) 1,x–c,

,?,

关于基 {

,c F.

2.设F上三维向量空间的线性变换

1

2

3

}的矩阵是

关于基

= 2

+3

+

1123

2

= 3

1

+4

2

+

3

3

=

1

+2

2

+2

3

的矩阵.

38

设 = 2 3.设{

1

+

2

3

.求

( )关于基

1

2

3

的坐标.

12

,?,

n

}是n维向量空间V的一个基.

j

= ,

= , j = 1,2,?,n,

并且

1

2

,?,

n

线性无关.又设

是V的一个线性变换,使得 ,?,

的矩阵.

(

j

) = ,

j = 1,2,?,n,求 关于基

4.设A,B是n阶矩阵,且A可逆,证明,AB与BA相似.

5.设A是数域F上一个n阶矩阵,证明,存在F上一个非零多项式f (x)使得

f (A) = 0.

6.证明,数域F上n维向量空间V的一个线性变换 是一个位似(即单位变换的一个标量倍)必要且只要

关于V的任意基的矩阵都相等.

7.令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间.取定一个矩阵A Mn (F) .对任意X Mn (F),定义 设

(X) = AX–XA. 由7.1习题3知

是Mn (F)的一个线性变换,

A =

是一个对角形矩阵.证明,

关于Mn (F)的标准基{Eij |1

}(见6.4,例5)的矩).

阵也是对角形矩阵,它的主对角线上的元素是一切ai–aj (1 [建议先具体计算一下n = 3的情形.]

39

8.设 两个基{

1

是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.证明,总可以如此选取V的 ,

2

,?, ,则

n

}和{

1

2

,?,

n

},使得对于V的任意向量 来

是一个定数。

说,如果 =

( ) =

1

,这里0

[提示:利用7.1,习题5选取基 ,

2

,?,

n

.]

§7.4 不变子空间

1.设 如果

是有限维向量空间V的一个线性变换,而W是

-1

的一个不变子空间,证明,

有逆变换,那么W也在

之下不变.

.证明Im(

)和Ker(

)都在

2.设 之下不变.

3.

是向量空间V的线性变换,且

是数域F上向量空间V的一个线性变换,并且满足条件

) = {

)

Im(

);

};

2

=

.证明:

(i) Ker(

(ii)V = Ker(

(iii)如果 是V的一个线性变换,那么Ker( )和Im( )都在 之下不变的充要条件是 4.设 空间都在

是向量空间V的一个位似(即单位变换的一个标量倍).证明,V的每一个子 之下不变.

5.令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合.V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变,那么就说W是S的一个不变子空间.S说是不可约的,如果S在V中没有非平凡的不变子空间,设S不可约,而

是V的一个线性变换,它与S

中每一线性变换可交换。证明 或者是零变换,或者是可逆变换.

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