漫谈圆周率π值的计算论文

南京师范大学泰州学院本科毕业论文

16

南京师范大学泰州学院本科毕业论文

3.2泰勒级数法

3.2.1 算法原理

利用反正切函数的泰勒级数

arctanx?x?x352k?13?x5?????1?k?1x2k?1 ?? (3-1)

将x?1代入(3-1)式得到:

?4?arctan1?1?13?15???(?1)13?15?????1?12n?1)。nn?112n?1(3-2) .

即 ??4(1?n?1越大越精确。利用Mathematica软件编程(程

序见附录3-3)计算发现花费的时间很长,所得到的结果的准确度却很差。分析其原因

是由于当x?1时得到的arctan1的展开式(3-2)收敛得太慢。

为使泰勒级数(3-1)收敛得快,应当使x的绝对值小于1,最好是远比1小,这样,随着指数的增加,x的幂快速接近于0,泰勒级数就会快速收敛。比如,取x?arctan1212得到的

就收敛的快。例如:

132n?11?1?1?1?n?1aratan?????????1???223?2?2n?1?2?1中取2n?1?63得到的arctan12的近似值

的误差就小于

1265,准确度已经非常非常高。

12 令??arctan,???4??,则

tan????42?1. tan??tan??????13?4?1?tan?tan?1?1?421?11因此??arctan,即?arctan?arctan,从而得到

3423?11 ?arctan?arctan. (3-3)

4231111arctan比arctan收敛的更快。利用泰勒级数计算出arctan与arctan的近似值再

3223?tan?1?1相加,然后再乘以4,就得到?的近似值。

还可以考虑用??arctan15来计算?。由tan??15易算出

17

南京师范大学泰州学院本科毕业论文

tan2??512,tan4??120119,?1??1?4?119tan?4?????.

?1204239??1?tan4?tan1?41194??tan4??tan?120?4?arctan1239.从而得到

??16arctan15?4arctan151239 (3-4)

1239利用arctanx的泰勒展开式求出arctan可以求出?的近似值。

,arctan的近似值,再代入公式(3-4)就

3.2.2 计算结果及误差分析

我们利用Mathematica软件,可以完成相应的程序编写(见附录3-3)。计算结果如

下表3-2和表3-3:

表3-2 利用泰勒级数法计算圆周率结果及误差(4(arctan(1/2)+arctan(1/3))

展开项数 计算结果 误差

展开项数 计算结果 误差 展开项数 计算结果 误差

1

3.333333333 0.191740680 4

3.140850562 -0.000742092 7

3.141599341 6.687×10-6

2

3.117283951 -0.024308703 5

3.14174119

>>闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ょ紓宥咃躬瀵鎮㈤崗灏栨嫽闁诲酣娼ф竟濠偽i鍓х<闁绘劦鍓欓崝銈嗙節閳ь剟鏌嗗鍛姦濡炪倖甯掗崐褰掑吹閳ь剟鏌f惔銏犲毈闁告瑥鍟悾宄扮暦閸パ屾闁诲函绲婚崝瀣уΔ鍛拺闁革富鍘奸崝瀣煕閵娿儳绉虹€规洘鍔欓幃娆忣啅椤旇棄鐦滈梻渚€娼ч悧鍡椢涘Δ鍐當闁圭儤鎸舵禍婊堟煥閺傝法浠㈢€规挸妫涢埀顒侇問閸犳鎮¢敓鐘偓渚€寮崼婵嬪敹闂佺粯妫佸〒褰掓偨缂佹ḿ绡€闁汇垽娼у瓭闂佹寧娲忛崐婵嗙暦椤栫偛绠ユい鏂垮綖缁楀绱撻崒娆戝妽闁挎洍鏅涢埢鎾寸鐎n偆鍘介梺褰掑亰閸樼晫绱為幋锔界厽闊洦姊圭紞鎴︽煃鐟欏嫬鐏存い銏$懇閹攱锛愭担鍓叉闂傚倸鍊搁崐椋庢濮橆兗缂氱憸鏃堝箖瑜斿畷鍗炩槈濡偐鏋冮梻渚€鈧稑宓嗛柛瀣躬瀵偅绻濋崒妤佹杸闂佺粯蓱瑜板啴鍩€椤掑倹鏆€殿喓鍔嶇粋鎺斺偓锝庝簽椤斿﹪姊虹憴鍕姸婵☆偄瀚竟鏇°亹閹烘挾鍘甸梺缁橆殔閻楀﹦娆㈤懠顒傛/闁诡垎宀€鍚嬮梺鍝勭灱閸犳牠鐛崱姘兼Щ濡炪倧缍€濞呮洘绌辨繝鍥舵晝妞ゆ劑鍨绘禒鎼佹⒑閸濆嫮鐏遍柛鐘崇墵閵嗕礁鈽夐姀鐘茶€垮┑掳鍊曢崯鐗堝閸ヮ剚鈷戦柛娑橈龚婢规ɑ銇勯幋婵愭Ц妞ゎ偄绻愮叅妞ゅ繐瀚槐鍫曟⒑閸涘﹥澶勯柛姗€绠栧畷婵嬪捶椤撶姷锛濋梺绋挎湰濮樸劌鐨紓鍌欐祰閸╂牕鐣濋幖浣哥畺濞村吋鎯岄弫瀣煃瑜滈崜娆撴偩閻戣棄閱囬柡鍥ュ妽閺呫垺绻濋姀锝嗙【妞ゆ垵妫楅埢宥夊冀椤撶啿鎷绘繛杈剧悼閹虫捇顢氬⿰鍛<閻犲洦褰冮埀顒佺摃閻忓鎮楅崗澶婁壕闂佸憡娲﹂崑鍡涱敊閸ヮ剚鈷戦柛娑橈梗缁堕亶鏌涢悩铏殤鐎殿啫鍥х劦妞ゆ帒瀚埛鎴炴叏閻熺増鎼愰柣蹇撳级缁绘稒鎷呴崘鎻掝伀妞も晠鏀辩换婵囩節閸屾凹浠圭紓浣筋嚙濡瑩濡甸崟顖氬唨闁靛ě鍐╂闂備浇銆€閸嬫捇鏌ゆ慨鎰偓妤冨婵傚憡鐓曢悘鐐靛亾閻ㄦ垹鈧稒绻傝灃婵°倕锕g花鐑芥煕濡も偓閸熷潡鎮鹃悜鑺ュ亗閹煎瓨蓱閺傗偓闂備礁澹婇崑鎺楀磻閸涙壋鍙块梻鍌氬€搁崐鎼佸磹妞嬪孩顐芥慨妯挎硾閻掑灚銇勯幒鎴濃偓鍛婄濠婂牊鐓犳繛鑼额嚙閻忥繝鏌¢崨顓犲煟妞ゃ垺鐟﹂幈銊╁箛椤忓棛娉垮┑锛勫亼閸婃洜鎹㈤幇顔瑰亾濮樼厧澧寸€殿喗濞婇弫鎰板川椤忓懏鏉搁梻浣哄仺閸庤京澹曢銏犳槬闁挎繂娲犻崑鎾舵喆閸曨剛顦ラ悗瑙勬处閸撴繈鎮橀崘顔解拺闂侇偆鍋涢懟顖涙櫠閺屻儲鐓忛柛鈩冡缚婢ц京绱掓潏銊﹀磳鐎规洘甯掗~婵嬵敄閽樺澹曢梺褰掓?缁€浣哄瑜版帗鐓曟繝闈涘閸斻倝鏌i鐔稿磳闁哄备鍓濆鍕偓锝庝簼椤旀洖鈹戦悙鏉戠仸妞ゎ厼鍊垮顕€宕煎┑鍫濆Е婵$偑鍊栫敮鎺斺偓姘煎弮瀹曟垵鈹戦崱蹇旀杸闂佺粯锚閻ゅ洦绔熷鈧铏规啑閵堝應鍋撻弽銊р攳濠电姴娲ゅ洿闂佸憡娲﹂崣搴∥i鐣岀閻庢稒岣块惌瀣磼椤旇姤灏い顐㈢箻閹煎綊宕烽鐘靛幆闂佽崵濮垫禍浠嬪礉鎼搭煈鏁婇柛銉墯閳锋垶鎱ㄩ悷鐗堟悙濠碘€虫健閺屾稖绠涢弮鎾光偓鍧楁煟濞戝崬鏋︾紒鐘崇☉閳藉鈻庨幇顒€濮冮梻鍌欑窔濞艰崵鈧潧鐭傚畷銏°偅閸愨晜娅栧┑鐘诧工閹虫劗澹曟禒瀣厱閻忕偛澧介幊鍥ㄤ繆閸撗冨幋闁哄本鐩俊鎼佸Ψ瑜忔闂備胶绮笟妤呭闯閿濆拋鍤曞ù鐘差儛閺佸洭鏌i弬鎸庢儓妤犵偛绉瑰缁樻媴閸涘﹤鏆堥梺鍛婃⒐宀f寧绂嶇粙搴撴瀻闁瑰濮崇粭澶娾攽閻愬弶鈻曞ù婊勭箞閹ょ疀濞戞瑧鍘遍梺闈涱檧缁茶姤淇婇悡搴樻斀妞ゆ柨鍚嬪﹢浼存煏閸パ冾伃闁轰礁鍟撮崺鈧い鎺戝閺佸銇勯幘璺盒fい顐f礋閺岀喖鎮滃Ο璇查瀺缂傚倸绉村ú顓㈠蓟閺囩喓绠鹃柛顭戝枛婵洟鏌i悩鍙夊窛闁稿鍊曢~蹇涙惞鐟欏嫬鐝伴梺鐐藉劥濞呮洟鎮橀埀顒勬⒒娴e憡鎯堥柟铏姈閹便劑骞橀钘変患閻庣懓瀚伴崑濠傖缚閵娾晜鐓冪憸婊堝礈閻旇偐宓佸┑鐘叉处閸嬫劖绻涢懠顒傚笡闁哄懐鍋ゅ娲捶椤撯偓鐟欏嫷娈介柛娑橈功椤╁弶绻濋棃娑氬ⅱ缁惧彞绮欓弻娑氫沪閹规劕顥濋梺閫炲苯澧柟顔煎€搁悾鐑藉箛椤撗勑ч柟鍏肩暘閸╁嫰宕戦妸鈺傗拺閻犳亽鍔岄弸鏂库攽椤旂⒈鍤熺紒顕嗙到铻栭柛娑卞枤閸樻悂鎮楅獮鍨姎濡ょ姵鎮傞悰顔嘉旈崨顔惧幈闁诲函缍嗘禍鍫曞磿閺冨牊鐓涚€光偓閳ь剟宕伴弽顓犲祦闁糕剝鍑瑰Σ楣冩⒑閹稿海鈽夌紒澶婄秺瀵鏁撻悩鎻掕€垮銈嗘尵婵兘寮抽妶澶嬧拺闁告繂瀚悘閬嶆煕閻樺磭澧垫鐐插暙楗即宕橀悙顒€缂撻梻浣虹《閸撴繂鐜婚崸妤€姹查柨鏇炲€归埛鎺懨归敐鍛殘鐟滅増甯楅弲婵嬫煥閺囩偛鈧摜绮堥崒娑欏弿婵$偠顕ф禍鎯旈悩闈涗粶闁哥噥鍋夐悘鍐⒑閸涘﹣绶遍柛鐘崇墬缁傛帒煤椤忓應鎷洪柣鐘差儏妤犵ǹ螞椤撱垹鍚规繛鍡樺姉缁♀偓闂侀€炲苯澧撮柡灞芥椤撳ジ宕ㄩ閿亾椤掆偓椤啴濡堕崱妯硷紩闂佺ǹ顑嗛幐濠氥€冮妷鈺傚€烽柛娆忣樈濡儱顪冮妶蹇撶槣闁革綇缍佸濠氭晸閻樿尙鍔﹀銈嗗笂閼冲爼銆呴悜鑺ュ€甸柨婵嗛娴滅偤鏌涘Ο鎸庮棄闁宠鍨块崺銉╁幢濡ゅ啩娣繝鐢靛仜閹锋垹寰婇崜褏鐭夐柟鐑樺灍濡插牓鏌曡箛銉х?闁告ɑ鎮傚铏瑰寲閺囨浜剧€规洖娲ㄩ澶娾攽閻愬弶鍣归柟铏耿瀵顓奸崶銊ユ瀭闂佸憡娲﹂崑鍡樺鐏炵瓔娓婚柕鍫濆暙閻忣亪鏌i悢婵嗘搐缁愭鈹戦悩鍙夋悙缁绢厸鍋撻梻浣虹帛閸旀牠骞嗗畝鍕柈闁逞屽墴濮婂宕掑顑藉亾閻戣姤鍤勯柛顐f礀缁犵娀鏌熼幆褍顣冲☉鎾崇Ф閳ь剙绠嶉崕閬嵥囬鐐插瀭闁稿本绮庡Λ顖涖亜閹捐泛浠﹂柛锝堟闇夋繝濠傛椤ュ鏌嶇憴鍕伌闁诡喗鐟ч埀顒佺⊕閿氶梻澶婄Ч濮婃椽宕ㄦ繝鍌滀淮缂傚倸绉撮敃銈夋偩閻ゎ垬浜归柟鐑樺灩椤斿懘姊洪懞銉冾亪藝闁秴绀夐柨鏇楀亾妞ゎ亜鍟存俊鍫曞幢濡ゅ啰鎳嗛梻浣告憸閸c儵宕戞繝鍥х畺闁跨喓濮寸粻娑㈡煟濡も偓閻楀繘宕㈤鍫熲拺闁硅偐鍋涢崝鈧梺鍛婂姇瑜扮偟妲愰弮鍫熺厽閹兼番鍩勯崯蹇涙煕閻樻剚娈斿畝锝呯仢閳诲酣骞掗弬鍓ц兒闂傚倸鍊风欢姘跺焵椤掑倸浠滈柤娲诲灡閺呭爼顢涘⿰鍛紲闂佺ǹ鏈銊︾墡闂備線娼ч悧鐐电礊娴e摜鏆︽慨妞诲亾闁糕晝鍋ら幃娆擃敆閳ь剟顢旇ぐ鎺撯拻闁稿本鐟чˇ锕傛煙鐠囇呯?闁瑰箍鍨藉畷鎺戔攦閹傚濠殿喗岣块崢褍鈻嶅澶嬬厵妞ゆ梹鍎虫禒褔鏌熼悷鏉款伃濠碘剝鐡曢ˇ鎾煥濞戞瑧鐭掓慨濠冩そ瀹曨偊宕熼鍛晧闂備胶枪鐎涒晜绻涙繝鍥х畺濡わ絽鍟崐缁樻叏濡も偓濡瑩顢欓弮鍫熲拺缂備焦锚婵洨鈧鍠栭悥鑹版"闂侀潧绻嗛幊鍥磻閹炬枼鏋旈柛顭戝枟閻濐噣姊洪棃鈺冪Ф缂佽弓绮欓幃楣冩煥鐎n剟妾梺鍛婃尭瀵爼寮插┑瀣拺闁圭ǹ娴风粻鎾翠繆椤愶絿鎳囬柟顔炬暬椤㈡洟鍩楅埡鍌涙澑闂備胶绮敋闁诲繑宀稿鎶藉煛閸涱喚鍘遍柣搴秵閸撴瑦绂掓潏鈹惧亾鐟欏嫭绀€缂傚秴锕ら悾閿嬬附缁嬪灝宓嗛梺缁樻煥閹诧繝鎮甸弽顓熲拻濞达絿枪閺嗛亶鏌熺喊鍗炰喊鐎规洘鍔欓獮鏍ㄧ瑹閸ャ劍娅旈梻鍌欑贰閸撴瑧绮旈悽鍛婂亗闁靛鏅滈悡鐔兼煛閸モ晛浠滈柍褜鍓欏﹢閬嶅焵椤掍胶鍟查柟鍑ゆ嫹<<
12@gma联系客服:779662525#qq.com(#替换为@)