分别画出y1=x-4和y2=x-4x+3的图象如图,
由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
104.(2018?上海?T19)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0 1800均通勤时间为f(x)={(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒2x+x-90,30 (1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 【解析】(1)由题意知,当30 ∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. (2)当0 x 1800x x 2 2 1800x -90>40, -90)?x%+40(1-x%)= x2 50 ? 1310 x+58. 40-10,0 所以g(x)={x213 -x+58,30 501 10 -,0 则g'(x)={11013 x-10,30 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的; 当32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少. x2+2x+a-2,x≤0, 105.(2018?天津?文T14)已知a∈R,函数f(x)={2若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成 -x+2x-2a,x>0.立,则a的取值范围是. 【答案】[8,2] 1 1 13 12 1 1 【解析】当x>0时,f(x)≤|x|可化为-x+2x-2a≤x,即(x-2)+2a-4≥0,所以a≥8; 当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|可化为x+2x+a-2≤-x,即x+3x+a-2≤0.对于函数y=x+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x≤0时,y≤0,所以当x=0时,y≤0,即a-2≤0,所以a≤2. 23 2 2 2 2 综上所述,a的取值范围为[,2]. 8 1 106.(2017?全国2?文T14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x+x,则f(2)= . 【答案】12 【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12. 107.(2017?浙江?T17)已知a∈R,函数f(x)=|x+x-a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是 【答案】(-∞,] 2 【解析】x∈[1,4],x+∈[4,5].令t=x+,则f(x)=|t-a|+a,结合数轴易知,t=为[4,5]的对称轴, x x 2 4 4 9 9 4 32 当a≤2时,a靠近左端点4,此时|t-a|≤|5-a|=5-a, f(x)max=5-a+a=5,符合题意; 当a>2时,a靠近右端点5,此时|t-a|≤|4-a|=a-4, f(x)max=a-4+a=2a-4>5,不符合题意. 综上可得,a的取值范围是(-∞,2]. x+1,x≤0,1 108.(2017?全国3?理T15文T16)设函数f(x)={x则满足f(x)+f(x-2)>1的x的取值范围是 2,x>0,【答案】(-4,+∞) 【解析】由题意得当x>时,2+2 2 1 1 1 1 x 9 9 9 1 x- 12 >1恒成立,即x>;当0 2 2 2 2 11 x 11 时,x+1+x-2+1>1,解得x>-4,即-4 109.(2017?山东?文T14)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6,则f(919)= . 【答案】6 -x 1 【解析】由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,其周期T=6. 又f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=6=6. 110.(2016?江苏?T5)函数y=√3-2x-x2的定义域是 . 【答案】[-3,1] 【解析】要使函数有意义,必须3-2x-x≥0,即x+2x-3≤0,所以-3≤x≤1. 111.(2016?北京?文T10)函数f(x)=x-1 (x≥2)的最大值为 . 【答案】2 【解析】∵f(x)=1+ 1x-1 x 2 2 1 在[2,+∞)上是减函数, ∴f(x)的最大值为2. 112.(2016?全国3?理T15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 . 【答案】y=-2x-1 【解析】当x>0时,-x<0, 则f(-x)=ln x-3x. 因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=ln x-3x, 所以f'(x)=x-3,f'(1)=-2. 故所求切线方程为y+3=-2(x-1), 即y=-2x-1. 113.(2016?天津?理T13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2 |a-1| 1 )>f(-√2),则a的取值范围是 . 1 3 【答案】(2,2) 【解析】由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2f(2 |a-1| |a-1| )>f(-√2)可化为 )>f(√2),则2 |a-1| <√2,解得2 13 114.(2016?四川?文T14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0 【解析】因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数, 所以f(2)=f(0+2)=f(0)=0, 5 5 1 1 1 12 f(-2)=f(-2-2)=f(-2)=-f(2)=-4=-2,所以f(-2)+f(2)=-2. |x|,x≤m, 115.(2016?山东?文T15)已知函数f(x)={2其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程 x-2mx+4m,x>??,f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 . 【答案】(3,+∞) 【解析】当x>m时,f(x)=x-2mx+4m=(x-m)+4m-m.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m). 函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m). (分类讨论) (1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以0 此时函数的图象如图①所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意; 2 2 2 2 2 5 (2)点P在点Q的下方时,即4m-m x2+(4a-3)x+3a,x<0, 116.(2016?天津?文T14)已知函数f(x)={(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x loga(x+1)+1,x≥0的方程|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 . 【答案】[,) 33 0 【解析】由函数f(x)在R上单调递减可得{2≥0,作出函数y=|f(x)|,y=2-3的图象如图. 由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-3有且仅有一个解;在(-∞,0)上,|f(x)|=2-3同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<3.综上可得3≤a<3, x 2 1 2 x x 1 2 x 2 3a≥f(0)=1, 解得3≤a≤4. 13