十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学
专题03函数
x2-2ax+2a,x≤1,
1.(2019?天津?理T8)已知a∈R,设函数f(x)={若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,
x-alnx,x>1.则a的取值范围为( )
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C
【解析】(1)当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a-2a+2a≥0.a-2a≤0.∴0≤a≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-x=
a
x-ax
2
2
2
>0 此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a≤1.
(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a≥0,显然成立. 此时f'(x)=
x-ax
,当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.
需f(a)=a-aln a≥0,ln a≤1,a≤e,可知1 2√x,0≤x≤1,1 2.(2019?天津?文T8)已知函数f(x)={1若关于x的方程f(x)=-4x+a(a∈R)恰有两个互异的实 ,x>1. x 数解,则a的取值范围为( ) A.C. 59 , 44 59 B. 59445944 ,, ∪{1} ,∪{1} D.44 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-4+a,得a=4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-4+a,a=4. 故当4≤a≤4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x0)=-x2=-4,x0=2. 0 15 19 59 11 此时切点为2,2,此时a=1.故选D. 1 x,x<0, 3.(2019?浙江?T9)设a,b∈R,函数f(x)={131若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点, 2 x-(a+1)x+ax,x≥0.32则( ) A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0 【答案】C 【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=1a,最多一个零点取决于x=1a与0的大小,所以关键研究当x≥0时, --b b 方程3x-2(a+1)x+ax=ax+b的解的个数,令b=3x-2(a+1)x=3xx-2(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示, 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系. 23 ①若2(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=2(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意. ②若2(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意.