初一升初二数学暑期衔接教辅

乐教、诚毅、奉献、创新

分析:由?ABC是等腰直角三角形可知,?A??B?45?,由D是AB中点,可考虑连结CD,易得CD?AD,?DCF?45?。从而不难发现?DCF??DAE

说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD,因为CD既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG=DE,连结BG,证?EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2. 已知:如图2所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。 求证:∠E=∠F EADBF图2C

说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:

(1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

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2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。

例3. 如图3所示,设BP、CQ是?ABC的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证:KH∥BC AQKBM图3HNC P 分析:由已知,BH平分∠ABC,又BH⊥AH,延长AH交BC于N,则BA=BN,AH=HN。同理,延长AK交BC于M,则CA=CM,AK=KM。从而由三角形的中位线定理,知KH∥BC。

说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称)而成一个等腰三角形。

例4. 已知:如图4所示,AB=AC,∠A?90?,AE?BF,BD?DC。 求证:FD⊥ED AF123EBD图4- 10 - C 乐教、诚毅、奉献、创新

说明:有等腰三角形条件时,作底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二:如图5所示,延长ED到M,使DM=ED,连结FE,FM,BM AFEBMDC图5

说明:证明两直线垂直的方法如下:

(1)首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。

(2)找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3)证明二直线的夹角等于90°。

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3、证明一线段和的问题

(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法)

例5. 已知:如图6所示在?ABC中,?B?60?,∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证:AC=AE+CD BE15423ODAF图66C 分析:在AC上截取AF=AE。易知?AEO??AFO,??1??2。由?B?60?,知?5??6?60?,?1?60?,?2??3?120?。??1??2??3??4?60?,得:

?FOC??DOC,?FC?DC

(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。(补短法)

例6. 已知:如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,?EAF?45?。 求证:EF=BE+DF A312DFGBE图7C 分析:此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使BG=DF。

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