高三模拟考试试卷(十三)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合U＝{－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，2}，则?UA＝________．
z1
2. 已知复数z1＝a＋i，z2＝3－4i，其中i为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为
z2
________．
3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间[40，100]上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为________．
(第4题)
(第3题)
4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为________．
5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为________．
6. 在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为________．
y22
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x－＝1有公共的渐近线，且经
3
过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
9. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为
·1·
________．
10. 已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．
x≤3，
?
11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x－
?x＋
3y＋3≥0，表示的平面区3y＋3≥0
域内，则面积最大的圆C的标准方程为______________．
1??e－x－2，x＞0，
12. 设函数f(x)＝?(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m
??x3－3mx－2，x≤0
的取值范围是________．
→→
13. 在平面四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，则AC·BD的值为________．
x2
14. 已知a为常数，函数f(x)＝22的最小值为－3，则a的所有值为________． a－x－1－x二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)
13在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(－sin β，cos β)，c＝(－，)．
22
(1) 若|a＋b|＝|c|，求sin(α－β)的值；
5π
(2) 设α＝，0＜β＜π，且a∥(b＋c)，求β的值．
6
16. (本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且
∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：
(1) 平面AEF⊥平面BB1C1C； (2) BC∥平面AEF.
x2y2
如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的短轴端点，P是椭圆上异
ab
于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y＝x＋3时，线段PB1的长为42.
·2·
17. (本小题满分14分)
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2.求证： △PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
·3·
18. (本小题满分16分)
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：
方案①： 以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；
方案②： 以l2为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．
(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径； (2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
4·
·