其中a1,a2,?,an为常数,称（4.19）为n阶常系数齐线性方程。它的求解问题可以归结为代数方程求根问题，现在就来具体讨论方程（4.19）的解法。按照§4.1的一般理论，为了求方程（4.19）的通解，只需求出它的基本解组。下面介绍求（4.19）的基本解组的欧拉（Euler）待定指数函数法。
回顾一阶常系数齐线性方程
dx?ax?0 dt我们知道它有形如x?e?at的解，且它的通解就是x?ce?at。这启示我们对于方程（4.19）也去试求指数函数形式的解
x?e?t （4.20）
其中?是待定常数，可以是实的，也可以是复的。
注意到
dne?tdn?1e?tde?t?t?L?e??a???a?ae 1n?1nnn?1??dtdtdt?(?n?a1?n?1???an?1??an)e?t?F(?)e?t
?t其中F(?)??n?a1?n?1???an?1??an是?的n次多项式。易知，（4.20）为方程（4.19）的解的充要条件是：?是代数方程
F(?)??n?a1?n?1???an?1??an?0 （4.21）
的根。因此，方程（4.21）将起着预示方程（4.19）的解的特性的作用，我们称它为方程（4.19）的特征方程，它的根就称为特征根。下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
1）特征根是单根的情形
设?1,?2,?,?n是特征方程（4.21）的n个彼此不相等的根，则相应地方程（4.19）有如下n个解：
e?1t,e?2t,?,e?nt （4.22）
我们指出这n个解在区间a?t?b上线性无关，从而组成方程的基本解组。事实上，这时
W(t)?e?1t?1e?1t??1n?1e?1t1?i?j?ne?2t?2e?2t??2n?1e?2tj??e?nt?ne?nt1?e(?1??2????n)t1???1?1??2??n?=
??????
i????nn?1e?nt
?1n?1?2n?1??nn?1由于假设?i??j（当i?j）。故此行列式不等于零，从而W(t)?0，于是解组
（4.22）线性无关，
如果?i(i?1,2,?,n)均为实数，则（4.22）是方程（4.19）的n个线性无关的实值解，而方程（4.19）的通解可表示为
x?c1e?1t?c2e?2t???cne?nt
其中c1,c2,?,cn为任意常数。
如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭地出现。设
?1???i?是一特征根，则?2???i?也是特征根，因而与这对共轭复根对应的，方
程（4.19）有两个复值解
e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t) e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t)
根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根????i?，我们可求得方程（4.19）的两个实值解： e?tcos?t
e?tsin?t
2）特征根有重根的情形
设特征方程有k重根???1，则如所周知
F(?1)?F?(?1)???F(k?1)(?1)?0 F(k)(?1)?0
先设?1?0，即特征方程有因子?k，于是
an?an?1???an?k?1?0
也就是特征方程的形状为
?n?a1?n?1???an?k?k?0
而对应的方程（4.19）变为
dnxdn?1xdkx?a1n?1???an?kk?0 ndtdtdt易见它有k个解1,t,t2,?,tk?1，而且它们是线性无关的（见4.1.2）。这样一来，特征方程的k重零根就对应于方程（4.19）的k个线性无关解1,t,t2,?,tk?1。
如果这个k重根??0，我们作变量变换x?ye?1t，注意到
x(m)??ye?1t??1t(m)m(m?1)2(m?2)???e?1t?y(m)?m?1y(m?1)??1y????1my?
2!???dny??1tdn?1y?1t?可得 L? ye??b???bye?Lye????1n1nn?1??dt?dt?于是方程（4.19）化为
dnydn?1ydyL1?y??n?b1n?1???bn?1?bny （4.23）
dtdtdt其中b1,b2,?,bn仍为常数，而相应的特征方程为
G(?)??n?b1?n?1???bn?1??bn?0 （4.24）
直接计算易得
(???1)t?1t(???1)t?t???F(???1)e(???1)t?L?e?Lee?G(?)e 1????因此 F(???1)?G(?)
从而 F(j)(???1)?G(j)(?)，j?1,2,?,k
可见（4.21）的根???1对应于（4.24）的根???1?0，而且重数相同。这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了。方程（4.24）的k1重根?1?0对应于方程（4.23）的k1个解y?1,t,t2,?,tk1?1，因而对应于特征方程（4.21）的k1重根?1，方程（4.19）有k1个解：
e?1t,te?1t,t2e?1t,?,tk1?1e?1t （4.25）
同样，假设特征方程（4.21）的其他根?2,?3,?,?m的重数依次为k2,?,km；ki?1（单根?j相当于kj?1），而且k1?k2???km?n，?i??j（当i?j），则方程（4.19）对应的有解：
?e?2t,te?2t,t2e?2t,?,tk2?1e?2t?????????? （4.26） ??mt?mt2?mtkm?1?mte,te,te,?,te?还可以证明（4.25）和（4.26）的全部n个解线性无关，从而构成方程（4.19）的基本解组。
对于特征方程有复重根的情况，譬如假设????i?是k重特征根，则????i?也是k重特征根，仿1）一样处理，我们将得到方程（4.19）的2k个实值解：
e?tcos?t,te?tcos?t,t2e?tcos?t,?,tk?1e?tcos?t e?tsin?t,te?tsin?t,t2e?tsin?t,?,tk?1e?tsin?t
d4x例1 求方程4?x?0的通解；
dt解 特征方程?4?1?0的根为?1?1，?2??1，?3?i，?4??i。有两个实根和两个复根，均是单根，故方程的通解为
x?c1et?c2e?t?c3cost?c4sint
这里c1,c2,c3,c4是任意常数。
d3x例2 求解方程3?x?0。
dt解 特征方程?3?1?0有根?1??1，?2,3?1t213，因此，通解为 ?i22?33?x?c1e?e??c2cos2t?c3sin2t??
???t其中c1,c2,c3为任意常数。
d3xd2xdx例3 求方程3?32?3?x?0的通解。
dtdtdt解 特征方程?3?3?2?3??1?0，或(??1)3?0，即??1是三重根，因此方程的通
解具有形状 x?(c1?c2t?c3t2)et 其中c1,c2,c3为任意常数。
d4xd2x例4 求解方程4?22?x?0。
dtdt