解：应用常数变易法，令
x?c1(t)cost?c2(t)sint
''将它代入方程，则可得决定c1(t)和c2(t)的两个方程：
?(t)?sintc2?(t)?0 costc1?(t)?costc2?(t)??sintc1?(t)??解得 c11 costsint?(t)?1 c2cost由此 c1(t)?lncost??1 c2(t)?t??2 于是原方程的通解为
x??1cost??2sint?costlncost?tsint
其中?1，?2为任意常数。
例4 求方程tx???x??t2于域t?0上的所有解。 解：对应的齐线性方程为tx???x??0
容易直接积分求得它的基本解组。事实上，将方程改写为
x??1? x?t积分即得x??At。所以x?12At?B，这里A，B为任意常数。易见有基本解组1，2t2。为应用上面的结论，我们将方程改写为
1x???x??t
t''并以x?c1(t)?c2(t)t2代入，可得决定c1(t)和c2(t)的两个方程
?(t)?t ?(t)?t2c2?(t)?0及2tc2c1于是 c2(t)?11t??2 c1(t)??t3??1 26故得原方程的通解为
1x??1??2t2?t3
3这里?1，?2为任意常数。根据定理7，它包括了方程的所有解。
§4.2 常系数线性方程的解法
讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。 4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间a?t?b中的每一实数t，有复数z(t)??(t)?i?(t)与它对应，其中?(t)和?(t)是区间a?t?b上定义的实函数，i是虚数单位，我们就说在区间a?t?b上给定了一个复值函数z(t)。如果实函数?(t)，?(t)当t趋于t0时有极限，我们就称复值函数z(t)当t趋于t0时有极限，并且定义
limz(t)?lim?(t)?ilim?(t)
t?t0t?t0t?t0如果limz(t)?z(t0)，我们就称z(t)在t0连续。显然，z(t)在t0连续相当于?(t)、
t?t0?(t)在t0连续。当z(t)在区间a?t?b上每一点都连续时，就称z(t)在区间a?t?bz(t)?z(t0)上连续。如果极限lim存在，就称z(t)在t0有导数（可微）。且记此极限为
t?t0t?t0dz(t0)或者z?(t0)。显然z(t)在t0处有导数相当于?(t)、?(t)在t0处有导数，且 dtdz(t0)d?(t0)d?(t0)??i dtdtdt如果z(t)在区间a?t?b上每点都有导数，就称z(t)在区间a?t?b上有导数。对于高阶导数可以类似地定义。
设z1(t),z2(t)是定义在a?t?b上的可微函数，c是复值常数，容易验证下列等式成立：
dz(t1)dz(t2)dz(t)?z(t)?? ?1?2dtdtdtdz(t)d?cz1(t)??c1 dtdtdz(t)dz(t)d?z1(t)?z2(t)??1?z2(t)?z1(t)?2 dtdtdt在讨论常系数线性方程时，函数eKt将起着重要的作用，这里K是复值常数，我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。
设K???i?是任一复数，这里?,?是实数，而t为实变量，我们定义
eKt?e(??i?)t?e?t(cos?t?isin?t)
有上述定义立即推得
cos?t?1i?t1(e?e?i?t) sin?t?(ei?t?e?i?t) 22i并且用K???i?表示复数K???i?的共轭复数。
此外，还可容易证明函数eKt具有下面的重要性质：
e(K1?K2)t?eK1t?eK2t
deKt?KeKt，其中t为实变量 dtdnKtnKt(e)?Ke ndt由此可见，实变量的复值函