AE CE BCD AC a1 a1 a2 a3 a3 a3 a4 a5 a5
7．设有关系框架R(A，B，C，D，E)及其上的函数相关性集合F＝{A→C，B→D，C→D，DE→C，CE→A}，试问分解ρ＝{R1(A，D)，R2(A，B)，R3(B，E)，R4(C，D，E)，R5(A，E)}是否为R的无损连接分解?
解：p的无损连接性判断结果表如下表所示，由此判断不具有无损连接性。
Ri A B C D E AD AB BE CDE AE a1 a1 a1 a2 a2 a3 a4 a4 a5 a5 a5
8．设有函数依赖集F＝{AB→CE，A→C，GP→B，EP→A，CDE→P，HB→P，D→HG，ABC→PG}，计算属性集D关于F的闭包D。 解：令X={D}，X(0)=D。
在F中找出左边是D子集的函数依赖，其结果是：D→HG，∴X(1)＝X(0)HG=DGH， 显然有X(1)≠X(0)。
在F中找出左边是DGH子集的函数依赖，未找到，则X(2)＝DGH。由于X(2)＝X(1)， 则：D=DOH
9．已知关系模式R的全部属性集U={A，B，C，D，E，G}及函数依赖集： F＝{AB→C，C→A，BC→D，ACD→B，D→EG，BE→C，CG→BD，CE→AG} 求属性集闭包(BD)。
解：令X＝{BD}，X(0)＝BD，X(1)＝BDEG，X(2)＝BCDEG，X(3)＝ABCDEG，故(BD)＝ABCDEG。 10．设有函数依赖集F={D→G，C→A，CD→E，A→B)，计算闭包D，C，A，(CD)，(AD)，(AC)，(ACD)。 解：
令X＝{D}，X(0)＝D，X(1)＝DG，X(2)＝DG，故D＝DG。
令X＝{C}，X(0)＝C，X(1)＝AC，X(2)＝ABC，X(3)＝ABC，故C＝ABC。
令X＝{A}，X(0)＝A，X(1)＝AB，X(2)＝AB，故A＝AB。
令X＝{CD}，X(0)＝CD，X(1)＝CDG，X(2)＝ACDG，X(3)＝ACDEG，X(4)＝ABCDEG，
故(CD)=ABCDEG。
令X＝{AD}，X(0)＝AD，X(1)＝ABD，X(2)＝ABDG，X(3)＝ABDG，故(AD)＝ABDG。 令X＝{AC}，X(0)＝AC，X(1)＝ABC，X(2)=ABC，故(AC)=ABC。
令X＝{ACD}，X(0)=ACD，X(1)=ABCD，X(2)＝ABCDG，X(3)＝ABCDEG，故(ACD)＝ABCDEG。
11．设有函数依赖集F＝{AB→CE，A→C，GP→B，EP→A，CDE→P，HB→P，D→H，ABC→PG，求与F等价的最小函数依赖集。
解：(1).将F中依赖右部属性单一化：
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
AB→C HB→P AB→E D→H F1= A→C D→G GP→B ABC→P EP→A ABC→G CDE→P
(2).对于AB→C，由于有A→C，则为多余的： AB→E HB→P A→C D→H F2= GP→B D→G EP→A ABC→P CDE→P ABC→G
(3).通过分析没有多余的依赖，则： AB→E HB→P A→C D→H F3= GP→B D→G EP→A ABC→P CDE→P ABC→G
12．设有关系模式R(U，F)，其中：
U＝{E，F，G，H}，F＝{E→G，G→E，F→EG，H→EG，FH→E} 求F的最小依赖集。 解：
(1).将F中依赖右部属性单一化：
F1＝{E→G，G→E，F→E，F→G，H→E，H→G，FH→E} (2).对于FH→E，由于有F→E，则为多余的，则： F2＝{E→G，G→E，F→E，F→G，H→E，H→G}
(3).由于E→G，所以在F2中的F→E和F→G以及H→E和H→G之一是多余的，则： F3＝{E→G，G→E，F→G，H→G} 或F3＝{E→G，G→E，F→G，H→E} 或F3＝{E→G，G→E，F→E，H→E}
或F3＝{E→G，G→E，F→E，H→G}
13．设有关系模式R(U，F)，其中：
U＝{A，B，C，D}，F＝{A→B，B→C，D→B}，把R分解成BCNF模式集： (1).如果首先把R分解成{ACD，BD}，试求F在这两个模式上的投影。 (2).ACD和BD是BCNF吗?如果不是，请进一步分解。 解：
(1).ΠACD(F)＝{A→C，D→C} ΠBD(F)＝{D→B} (2).BD已是BCNF。
ACD不是BCNF。模式ACD的候选关键字是AD。考虑A→C，A不是模式ACD的候选关键字，所以这个函数依赖不满足BCNF条件。将ACD分解为AC和AD，此时AC和AD均为BCNF。
14．设有关系模式R(A，B，C，D)，其上的函数依赖集： F＝{A→C，C→A，B→AC，D→AC}
(1).计算(AD)。
(2).求F的最小等价依赖集Fm。 (3).求R的关键字。
(4).将R分解使其满足BCNF且无损连接性。
(5).将R分解成满足3NF并具有无损连接性与保持依赖性。 解：
(1).令X＝{AD}，X(0)＝AD，X(1)=ACD，X(2)=ACD，故(AD)＝ACD。
(2).将F中的函数依赖右部属性单一化： A→C C→A F1= B→A B→C D→A D→C 在Fl中去掉多余的函数依赖：
∵B→A，A→C ∴B→C是多余的。 又∵D→A，A→C ∴D→C是多余的。
A→C C→A F2= B→A D→A 函数依赖集的最小集不是惟一的，本题中还可以有其他答案。
∵F2中所有依赖的左部却是单属性，∴不存在依赖左部有多余的属性 ∴ A→C C→A F= B→A D→A
(3). ∵BD在F中所有函数依赖的右部均未出现
∴候选关键字中一定包含BD，而(BD)＝ABCD，因此，BD是R惟一的候选关键字。 (4). 考虑A→C
∵AC不是BCNF(AC不包含候选关键字BD)，将ABCD分解为AC和ABD。 AC已是BCNF，进一步分解ABD，选择B→A，把ABD分解为AB和BD。 此时AB和AD均为BCNF ∴ρ＝{AC，AB，BD}。
(5).由(2)可求出满足3NF的具有依赖保持性的分解为ρ={AC，BD，DA}。
判断其无损连接性如下表所示，由此可知ρ不具有无损连接性。
Ri A B C D AC BA DA a1 a1 a1 a2 a3 a3 a3 a4 +
+
+
令ρ＝ρ∪{BD}，BD是R的候选关键字 ∴p＝{AC，BA，DA，BD}。
15．己知关系模式R(CITY，ST，ZIP)和函数依赖集： F＝{（CITY，ST）→ZIP，ZIP→CITY} 试找出R的两个候选关键字。
解：设U＝(CITY，ST，ZIP)，F中函数依赖的左边是CITY，ST，ZIP： · 由于ZIP→CITY，去掉CITY，故(ST，ZIP)可能是候选关键字。 (ST，ZIP)＝{ST，ZIP，CITY}，∴(ST，ZIP)→U。
又ST=ST，ZIP={ZIP，CITY}，故(ST，ZIP)是一个候选关键字。
+
++
·由于（CITY，ST）→ZIP，去掉ZIP，故(CITY，ST)可能是候选关键字。 (CITY，ST)={CITY，ST，ZIP}，∴(CITY，ST)→U。 又CITY＝CITY，ST=ST，故(CITY，ST)是一个候选关键字。
因此，R的两个候选关键字是(ST，ZIP)和(CITY，ST)。
16．设有关系模式R(A，B，C，D，E)，R的函数依赖集： F＝{A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→A} (1).求R的候选关键字。 (2).将R分解为3NF。 解：
(1).设U＝(A，B，C，D，E)，由于(CE)=ABCDE，C=C，E=BDE
∴R的候选关键字是CE。
(2).求出最小依赖集F′＝{A→D，E→D，D→B，BC→D，CD→A} 将R分解的3NF：ρ＝{AD，DE，BD，BCD，ACD}。 17．设有关系模式R(U，V，W，X，Y，Z)，其函数依赖集： F＝{U→V，W→z，Y→U，WY→X}，现有下列分解： (1). ρl＝{WZ，VY，WXY，UV} (2). ρ2＝{UVY，WXYZ}
判断上述分解是否具有无损连接性。 解：
(1). ρ1的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ1不具有无损连接性。
Ri U V W X Y Z WZ VY WXY UV a1 a2 a2 a3 a3 a4 a5 a5 a6 a6 +
+
+
+
+
+
(2). ρ2的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ2具有无损连接性。
Ri U V W X Y Z UVY a1 a2 a2 a3 a4 a5 a5 a6 WXYZ a1
18．已知R(Al，A2，A3，A4，A5)为关系模式，其上函数依赖集：
F＝{Al→A3，A3→A4，A2→A3，A4A5→A3，A3A5→A1}
ρ={Rl(Al，A4)，R2(A1，A2)，R3(A2，A3)，R4(A3，A4，A5)，R5(Al，A5)} 判断ρ是否具有无损连接性。
解：ρ的无损连接性判断表如下所示，由此判断ρ不具有无损连接性。
Ri A1 A2 A3 A4 5 A1A4 A1A2 A2A3 a1 a1 a2 a2 a3 a3 a3 a3 a4 a4 a4 a4 a5 A3A4A5 a1