?1?综上,a∈?，＋∞?. ?2?
a22（ax2－2）（x－1）
12.(1)解 f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝a－－2＋3＝. xxxx3
当a≤0时,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,＋∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 当a>0时,f′(x)＝①0
a（x－1）?
?x－x3?
2??
??x＋
a??
2?
a?
?.
a>1,
当x∈(0,1)或x∈?当x∈?1，②a＝2时,③a>2时,0<当x∈?
??
a2?
，＋∞?时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
?
??
2?
a?a?时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
2
＝1,在x∈(0,＋∞)内,f′(x)≥0,f(x)单调递增. 2
<1,当x∈?0，a??
2?
?或x∈(1,＋∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
a?
??
2
a，1?时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
??
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,＋∞)内单调递减； 当0
2?
?内单调递减,在
a?
???
a2?
，＋∞?内单调递增；
?
当a＝2时,f(x)在(0,＋∞)内单调递增； 当a>2时,f(x)在?0，??
2???内单调递增,在?
a??
a2?
，1?内单调递减,在(1,＋∞)内单调递增.
?
(2)证明 由(1)知,a＝1时,
f(x)－f′(x)＝x－ln x＋
2x－1?122?312
－?1－－2＋3?＝x－ln x＋＋2－3－1,x∈[1,2]. 2
x?
xxx?
xxx312
设g(x)＝x－ln x,h(x)＝＋2－3－1,x∈[1,2],则f(x)－f′(x)＝g(x)＋h(x).由g′(x)
xxx＝
x－1
≥0, x可得g(x)≥g(1)＝1,
－3x－2x＋6
当且仅当x＝1时取得等号.又h′(x)＝. 42
x设φ(x)＝－3x－2x＋6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减.
13
2
因为φ(1)＝1,φ(2)＝－10,所以?x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.
所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减. 11
由h(1)＝1,h(2)＝,可得h(x)≥h(2)＝, 22当且仅当x＝2时取得等号.
33
所以f(x)－f′(x)>g(1)＋h(2)＝.即f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立.
22 13.(1)证明 f′(x)＝m(e－1)＋2x.
若m≥0,则当x∈(－∞,0)时,e－1≤0,f′(x)＜0；当x∈(0,＋∞)时,e－1≥0,f′(x)＞0.
若m＜0,则当x∈(－∞,0)时,e－1＞0,f′(x)＜0；当x∈(0,＋∞)时,e－1＜0,f′(x)＞0.
所以,f(x)在(－∞,0)单调递减,