三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第三章 导数及其应用2 理

第二节 导数的应用

A组 三年高考真题(2016~2014年)

1.(2015·福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )

1?1?1?1??1?<1 D.f?1?>k A.f??< B.f??> C.f???k-1?k-1

?k?k?k?k-1?k-1?k-1??2.(2015·陕西,12)对二次函数f(x)=ax+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )

A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=

2

f(x)上

3.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

4.(2015·新课标全国Ⅰ,12)设函数f(x)=e(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数

xx0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )

A.?-

?3,1? B.?-3,3? C.?3,3? D.?3,1?

??2e4??2e4??2e?

?2e???????

πx2

.若存在f(x)的极值点x0满足x0+

5.(2014·新课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)=3sin[f(x0)]

2

2

m A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

6.(2014·辽宁,11)当x∈[-2,1]时,不等式ax-x+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )

9?? A.[-5,-3] B.?-6,-? C.[-6,-2] D.[-4,-3] 8??7.(2016·全国Ⅱ,21)(1)讨论函数f(x)=2>0;

e-ax-a(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求2

x3

2

x-2xxe的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e+x+x+2

x函数h(a)的值域.

1

8.(2016·全国Ⅲ,21)设函数f(x)=acos 2x+(a-1)·(cos x+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为4. (1)求f′(x); (2)求A;

(3)证明|f′(x)|≤2A.

9.(2016·全国Ⅰ,21)已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1)有两个零点. (1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

10.(2016·北京,18)设函数f(x)=xe(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.

11.(2016·四川,21)设函数f(x)=ax-a-ln x,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性;

11-x (2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自

2

x2

a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=

x然对数的底数).

2x-1

12.(2016·山东,20)已知f(x)=a(x-ln x)+2,a∈R.

x(1)讨论f(x)的单调性;

3

(2)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.

2

2

13.(2015·新课标全国Ⅱ,21)设函数f(x)=e+x-mx. (1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;

(2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围. 1+x14.(2015·北京,18)已知函数f(x)=ln. 1-x (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

mx2

?x? (2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2?x+?; ?3?

?x? (3)设实数k使得f(x)>k?x+?对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值. ?3?

15.(2015·四川,21)已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x-2ax-2a+a,其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;

(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.

16.(2015·天津,20)已知函数f(x)=nx-x,x∈R,其中n∈N,n≥2. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);

(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证:|x2-x1|<

17.(2015·江苏,19)已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范

3

2

2

2

3

3

n*

+2. 1-na?3??3?围恰好是(-∞,-3)∪?1,?∪?,+∞?,求c的值. ?2??2?

3

3x+ax18.(2015·重庆,20)设函数f(x)=(a∈R). xe

(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.

13

19.(2015·新课标全国Ⅰ,21)已知函数f(x)=x+ax+,g(x)=-ln x.

4 (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.

20.(2015·安徽,21)设函数f(x)=x-ax+b.

22

?ππ? (1)讨论函数f(sin x)在?-,?内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; ?22??ππ?2

(2)记f0(x)=x-a0x+b0,求函数|f(sin x)-f0(sin x)|在?-,?上的最大值D;

?22?

(3)在(2)中,取a0=b0=0,求z=b-满足D≤1时的最大值.

4

21.(2015·广东,19)设a>1,函数f(x)=(1+x)e-a. (1)求f(x)的单调区间;

(2)证明:f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点;

(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O2

a2

x 4

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