西北工业大学硕士学位论文
第二章 微穿孔板吸声结构的基本原理及理论分析
§2.1微穿孔板的声阻抗率
微穿孔板吸声结构体系由大量丝米级小孔的薄板，再加上板后的空腔组成，可以看作具有声阻和声抗的声学元件，其结构及其等效电路如图2-1[1]所示。
图2-1微穿孔板吸声体结构及等效电路图
微穿孔板可以看作大量的微管的并联，如果孔间距离比孔径大多时，可以假设各孔（及各微管）的特性互不影响，微穿孔板的声阻抗简单地即等于单孔的声阻除以孔数。在另一方面，当孔间距比波长小得多时，孔间面板对声波的反射也可忽略不计。根据Crandall的基本理论可获得微穿孔声阻抗的计算公式[2]，把圆管中的空气看成由大量厚度极薄的同轴圆柱层形成，每层沿轴向的运动要受其惯性和与轴向速度在径向的梯度成正比的粘滞阻力的限制。如微管两端间的声压差为△P，运动方程式即为：
?u?.?r1???r1???u???p （2-1） ?r1?r1t式中?为空气密度，?为空气粘滞系数，u为空气沿轴向的质点的速度（为径向r1的函数，在管壁上为零，管心上最大），t为管长。考虑正弦运动，（2-1）式时间微分可以代以j?乘积，而写做
?p?21?， （2-2） (2???k2)u??r1?r1?t?r1 5
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k2??j???
(2-2)式的解为：
u(r1)???p?k2t?J0(kr1)??1??. （2-3）
J(kr)00??因为在管壁上,r1=r0,所以质点速度必须为零。式中J0代表零阶Bessel函数。管中的平均速度为:
2u?2r0??r00ur1dr1???p?k2t?2J1(kr0)?1-???, （2-4） krJ(kr)000??式中J1为一阶Bessel函数,根据声阻抗定义（声阻抗为媒质中某点的有效声压与该点的质点速度的比值），微管的声阻抗为：
?J1(k?j)??p2 Z1???j?pt?1???， （2-5）
?k?jJ0(k?j???u式中k为
?12????d为粘性附面层厚度，故k为2半径与附面?r0??，???2层厚度的比，?为运动粘滞系数且?=?/?，d为孔的直径。
（2-5）式在细管和粗管的近似值分别为： z1???k?132??t4j??t? （2-6） 3d2 ?k???j??t??104?ut?(1?j) （2-7）
d2?管的粗细是按k值的大小区分的。Z1的实部是声阻率R1,虚部是声抗率
?M1(M1是声质量率)。由以上结果可以看出
R16 （2-6a） ????M1k?1k2而
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R11 (2-7a) ?k????10?M11?k/2在k＝1，R1/?M1?6时吸收频带宽度可以达到很大的值。而在k＝10时，
R/?M1?0.14,吸收频带就非常窄了。普通穿孔板结构须另加吸声材料，原因就在与此。微穿孔板使k约在1与10之间，因而不用其它的吸声材料就使吸收频带较宽。构造一个Z1等式，在k小时趋近(2-6)式，而在k大时趋近(2-7)式,可得
32??tk21??j??t(1? Z1?32d2132?k22) （2-8）
将此值与准确值(2-5)式比较，二者符合甚好，最大误差为6%。(2-8)式适合于任何k值，可代替(2-6)、(2-7)二式为更好的近似值。k当然不能太大，在管中出现横波时，上面的式子就无用了。管长t（即穿孔板厚度）如不是比管径d大的多，就须加上末端改正值。声质量的末端改正值是由末端的声辐射而来，使有效管长增加0.85d（计算两端辐射）。声阻的末端改正是由于空气出入微管时有一部分沿障板流动，因而产生磨擦损失所致，因此可求得[3]，两端都是无穷面障板时，声阻率增加22???。这两部分都应加于(2-8)式。
微穿孔板的声阻率，如果假设各孔间互不影响，就等于单管的声阻抗率（包括末端改正值）除以穿孔率p（每单位板面积上孔的总面积）。以空气的特性声阻
?c(c为声速)为单位，微穿孔板的相对声阻抗就等于：
z?Z1?r?j?m， （2-9） p?c其中相对声阻和相对声质量分别为：
32?tr??2pcd?2kd?k2??? (2-10) ?1?328t????和
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????t?1d?1??0.85 （2-11） m?2?pct?k23???2??将已知值代入以上两式，并取c＝340米/秒，u＝1.5×10?5米/秒，d，t的单位用毫米， P＝78.5d2/b2（P为百分数）,b为孔间距离（毫米）。于是得 r?0.147t?kr ， （2-12） pd2t?km （2-13） p m?0.249?10?3?其中声阻常数和声质量常数分别为：
k22kdkr?1??? （2-14）
328tkm?1?1k29?2d?0.85 （2-15）
t而
k?f?d （2-16） ??d?210以上各式只限于非金属板，传导系数非常小的情况。微穿孔板如果用金属或和热传导大的薄板制造，还应计入热传导的影响。对于金属管的声学特性，Crandall[2] 曾有比较详细的讨论。在正常声场中，空气的压缩是绝热过程。但是在金属管中，接近管壁的空气即保持恒温，任何热量变化，立即被管壁传开。如果管非常细，整个管内的空气就处于恒温状态。热量的传导代表能量的损失，因此管内的阻尼要加大。这项加大等于把以上各式的?值改为??v，v为空气的温度传导系数（温度梯度为10C/米时，每秒钟单位厚度的温度增加）为2?10?5米2/秒。二者相加，??v?3.56?10?5米2/秒。把这个值代入(2-10)，(2-11)二式，就得到金属微穿孔板的公式：
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