初中数学竞赛几何讲座（共5讲）
第一讲 注意添加平行线证题 第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题 第三讲 点共线、线共点 第四讲 四点共圆问题 第五讲 三角形的五心
第一讲 注意添加平行线证题
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.
添加平行线证题,一般有如下四种情况.
1 为了改变角的位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ, ADA为BC外一动点(如图1).当点A运动到使 ∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试 证明你的结论. BPQC答： 当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形. 图1证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.
在△DBP＝∠AQC中,显然 ∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C. 由BP＝CQ,可知 △DBP≌△AQC.
有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.
则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP. 所以AB＝AC.
这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.
例2 如图2,四边形ABCD为平行四边形, EP∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.
GDA证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC
的平行线,得交点P,连PE.
BFC 由AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有
＝图2PA＝ED,PB＝EC.
显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 ∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.
由∠BAF＝∠BCE,可知
∠BAF＝∠BPE.
有P、B、A、E四点共圆. 于是,∠EBA＝∠APE. 所以,∠EBA＝∠ADE.
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.
2 欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3 在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：
PM＋PN＝PQ.
A证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD
NM于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC PED于K、G,连PG. FGK 由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC CBQ两边距离相等.有KQ＝PN. 图3 显然,
EPEFCG＝＝,可知PG∥EC. PDFDGD 由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是, PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.
这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.
3 为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.
例4 设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：
AM2ACAM1AB＋＝＋. APAQAN1AN2证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立. 若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC 于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于 E.
由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋ M2E,易知
APQN2M1M2CD图4N1EBABBEACCE＝,＝, APDEAQDE
MEAM2MEAM1＝1,＝2.
DEAN2DEAN1则
AM1AM2ACBE?CEM1E?M2EAB＋＝＝＝＋. APDEDEAQAN1AN2AM2ACAM1AB＋＝＋. APAQAN1AN2所以,
这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是
问题迎刃而解.
例5 AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝
QMPAN∠EDA.
证明：如图5,过点A作BC的平行线,分 FKE别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、 N、M.
显然,
BDKDDC＝＝. ANKAAMBD图5C有BD·AM＝DC·AN. (1)
APAFAM＝＝,有 BDFBBCBD·AMAP＝. (2)
BCAQAEAN由＝＝,有
ECBCDCDC·ANAQ＝. (3)
BC由
对比(1)、(2)、(3)有 AP＝AQ.
显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ. 所以,∠FDA＝∠EDA.
这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.
4 为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN＝90°.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求证：AD2＝证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND 延长线于E.连ME.
由BD＝DC,可知ED＝DN.有
BE1(AB2＋AC2). 4AMD图6NC△BED≌△CND. 于是,BE＝NC.
显然,MD为EN的中垂线.有 EM＝MN.
由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM为直角三角形,∠MBE＝90°.有
∠ABC＋∠ACB
＝∠ABC＋∠EBC＝90°. 于是,∠BAC＝90°.
1?1? 所以,AD2＝?BC?＝(AB2＋AC2).
4?2? 这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.
C例7 如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点, FE分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB.
过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平
A分EF. BGDOH证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连图7FA、EB.易知 DB2＝FB2＝AB·HB, AD2＝AE2＝AG·AB. 二式相减,得
DB2－AD2＝AB·(HB－AG),
或 (DB－AD)·AB＝AB·(HB－AG).
于是,DB－AD＝HB－AG, 或 DB－HB＝AD－AG. 就是DH＝GD.
显然,EG∥CD∥FH. 故CD平分EF.
这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束.
一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有
2DMAM＝ BNANME ＝,
NCMEDMBNDM即 ＝或＝.
BNMENCNC
此式表明,DM＝ME的充要条件是 BN＝NC.
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD为四边形,两组对边延长 A后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长
MEBCG图9ADMBN图8CEDNF