离散型随机变量的均值与方差、正态分布
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一、选择题
1．(2019·陕西省第三次联考)同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的数学期望是( )
35A．1 B．2 C.2 D.2
A [∵一次同时抛掷2枚质地均匀的硬币，恰好出现2枚正面向上的概率为1112×2＝4，
11
∴X～B(4，4)，∴E(X)＝4×4＝1.故选A.]
2．(2019·广西桂林市、崇左市二模)在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若P(0<ξ<1)＝0.4，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.2
B [由正态分布的图象和性质得P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.故选B.]
3．已知随机变量ξ的分布列为
ξ P 1
若E(ξ)＝3，则D(ξ)＝( ) 112
A．1 B.9 C.3 D．2
115x＋＋＋y＝1，x＝???36?18，1
[∵E(ξ)＝3，∴由随机变量ξ的分布列知，∴?则?112
??－x＋6＋2y＝3，??y＝9，
1
－1 x 0 13 1 16 2 y B
1?25?1?21?1?21?1?2211?
D(ξ)＝?－1－3?×18＋?0－3?×3＋?1－3?×6＋?2－3?×9＝9.]
????????
4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
718
A．3 B.2 C.5 D．4
A3＋C2C3A23A212
B [ξ的可能取值为2，3，4，P(ξ＝2)＝A2＝10，P(ξ＝3)＝＝10，3
A55
11321
A33C2C3＋A3C3C231337
P(ξ＝4)＝＝，则E(ξ)＝2×＋3×＋4×
A4510105＝2，故选B.] 5
3
11
2
5．甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5，0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我们就有理由认为生产中可能出现了异常情况．现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：
则以下判断正确的是( ) A．甲、乙两厂生产都出现异常 B．甲、乙两厂生产都正常 C．甲厂生产正常，乙厂出现异常 D．甲厂生产出现异常，乙厂正常
D [由甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N(5，0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，区间(μ－3σ，μ＋3σ)，即区间(4.7，5.3)，根据茎叶图可知，甲厂生产的零件有1件尺寸超出上述区间，乙厂生产的零件尺寸均在上述区间，所以甲厂生产出现异常、乙厂生产正常．
故选D.] 二、填空题
1??
6．设X为随机变量，X～B?n，3?，若随机变量X的均值E(X)＝2，则P(X
??＝2)等于________．
2
1?80?
[由X～B?n，3?，E(X)＝2，得 243??1
np＝3n＝2，∴n＝6， 则
2??P(X＝2)＝C6
1?2?1?480??1－3?＝
243.] ?3???
7．(2019·海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X(单位：kg)服从正态分布N(25，0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4 kg的概率为________．(附：若Z～N(μ，σ2)，则P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4)
0.818 5 [∵X～N(25，0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2.
1
∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝2×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.]
8．2019年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95，82)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________．
32 [由题意可知每名学生的英语成绩ξ～N(95，8)， 8
14312??∴P(ξ＞95)＝2，故所求概率P＝C4?2?＝8.] ??三、解答题
9．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 个数 标准果 10 优质果 30 精品果 40 礼品果 20 (1)若将频率作为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
3
方案1：不分类卖出，单价为20元/kg . 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 售价(元/kg) 标准果 优质果 精品果 礼品果 16 18 22 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．
[解] (1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)2011＝100＝5，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则X～B(4，5)，9624212
所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X＝2)＝C4(5)(5)＝625.
(2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为 1342
E(ξ)＝16×10＋18×10＋22×10＋24×10 16＋54＋88＋48＝＝20.6，
10
因为E(ξ)>20，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案． (3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，
31C61C26C41
则P(X＝0)＝C3＝6；P(X＝1)＝C3＝2；
1010123C6C43C41
P(X＝2)＝C3＝10；P(X＝3)＝C3＝30，
1010
所以X的分布列如下：
X P 0 16 1 12 2 310 3 130 4