数据结构期终复习

五、(本题8分)

【解答】树的查找路径是从根结点开始到所要查找的结点的路径,最大不会超过B-树的深度。在B树中,除根结点外所有非终端结点都含有??棵子树,所以有n个关键

?2?字的B-树的最大深度为根结点具有两棵子树,其余非终端点有??m??m?棵子树,设最大路径?2?? 长度是x,由于叶子结点表示查找不成功,叶子结点不含关键字,可知B-树的深度为x+1,

第1层共有1个结点,含1个关键字;

第2层共有2个结点,含2(??m?-1)个关键字; ?2??第3层共有2?……

?m??m??m?2(??-1)个关键字; 个结点,含???22?????2?x?2?m?第x层共有2???2??m?个结点,含2???2?x?2(??m?-1)个关键字; ??2?x?1故,共含有的关键个数为:

?m??m??m??m?1+2(??-1)+2??(??-1)+…+2???2??2??2??2?x?2?m??m?(??-1)=2???2??2??1

?m?由此可得:n?2???2?x?1?1,解得:x?1?log?m?(?2???n?1),这就是具有n个关键2宇的B一树的查找的最大路径长度。

六、(本题8分)

【解答】折半查找对应的判定树如下图所示。查找不成功的对应于外部结点。查找不成功所走的路径是从根结点到每个外部结点(图中方块结点),和给定值进行比较的关键字个数等于该路径上内部结点个数。

在不成功情况下,一共比较的次数为3*3+4*10=49次。 平均查找长度为49/13≈3.77 七、(本题8分)

【解答】对于a来说,在S2中总可找到离a最近的祖先结点d,这时ab,也就是说a

八、(本题8分) 【解答】

(1)证明:n=1时显然成立,设n=k时成立,即Ek=Ik+2k,当n=k+1时,设所增加的结点的路径长度为Dk,则有:

Ik+1=Ik+Dk

Ek+1=Ek-Dk+2(Dk+1)=Ek+Dk+2=Ik+2k+Dk+2=Ik+1+2(k+1)=Ik+1+2n 结论也成立。

(2)根据二叉树性质:度为0的结点数=度为2的结点数+1,所以外结点数=n+l。 s=查找成功总的比较次数/内结点数=(I+n)/n ① u=查找失败总的比较次数/外结点数=E/(n+1)=(I+2n)/(n+1) ②

由①得:I=ns-n,由②得:I=(n+1)u-2n,所以可得:ns-n=(n+1)u-2n,进一步得:

s?(1?1)u?1。 n九、(本题9分)

【解答】

(1)设第v层有u个结点(m

第1层有1个结点,第2层有m个结点,第3层有m2结点,用数学归纳法易知k层共有mk-1个结点。

mh?1(2)整棵树结点数=1+m+m+…+m=。

m?12

h-1

(3)设编号为i的结点双亲的结点编号为x,将编号为i的结点视为完全二叉树的最后一个结点,因此,此完全m叉树中至少有 x-l个度为 m的结点,而 x号结点的度 d(1

≤d≤m),其余的结点均为叶子结点,而编号i就是此完全m又树的总结局数,于是有:

(x-1)m+d+1=i

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