中学教育
∴k的取值范围为-2 7．[2018·宜宾]如图，已知反比例函数y=??(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y=-x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(-4，n)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P点，连接OP，OQ，求△OPQ的面积． ?? 解：(1)∵反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1，4)， ???? ∴4=，解得m=4， 1 ?? 故反比例函数的表达式为y=??． ∵Q(-4，n)在反比例函数的图象上， ∴n=-4=-1，∴Q(-4，-1)． ∵一次函数y=-x+b的图象过点Q(-4，-1)， ∴-1=4+b，解得b=-5， ∴一次函数的表达式为y=-x-5． (2)由题意可得：{ ??=， ??4 4 4 ??=-??-5， ??=-1，??=-4，解得{或{ ??=-1??=-4，∴P(-1，-4)． 在一次函数y=-x-5中， 令y=0，得-x-5=0， 解得x=-5，故A(-5，0)． ∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=2×5×4-2×5×1=7.5． 中学教育 1 1 中学教育 8．[2019·广东]如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=2的图象相交于A，B两点， ?? ?? 其中点A的坐标为(-1，4)，点B的坐标为(4，n)． (1)根据图象，直接写出满足k1x+b>??2的x的取值范围； (2)求这两个函数的表达式； (3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶2，求点P的坐标． ?? 解：(1)x<-1或0 (2)把A(-1，4)的坐标代入y=??2，得k2=-4．∴y=-??． ∵点B(4，n)在反比例函数y=-??的图象上，∴n=-1．∴B(4，-1)． 把A(-1，4)，B(4，-1)的坐标代入y=k1x+b， 得{ -??1+??=4，4??1+??=-1， 解得{ ??1=-1，??=3． ∴y=-x+3． 4?? 4 (3)设直线AB与y轴交于点C， ∵点C在直线y=-x+3上，∴C(0，3)． S△AOB=OC·(|xA|+|xB|)=×3×(1+4)=7．5， 2 2 1 1 又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2， ∴S△AOP=3×7．5=2．5，S△BOP=5． 又S△AOC=2×3×1=1．5，1．5<2．5， ∴点P在第一象限．∴S△COP=2．5-1．5=1． 又OC=3，∴2×3×xP=1，解得xP=3． 中学教育 1 2 11 中学教育 把xP=代入y=-x+3，得yP=． 3 3 27 ∴P(，)． 3 3 27 9．[2019·广州]如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1，2)，AB⊥x轴于点E，正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=点． (1)求m，n的值与点A的坐标； (2)求证：△CPD∽△AEO； (3)求sin∠CDB的值． ??-3?? 的图象相交于A，P两 解：(1)将点P(-1，2)的坐标代入y=mx， 得：2=-m，解得m=-2， ∴正比例函数解析式为y=-2x； 将点P(-1，2)的坐标代入y= ??-3?? ， 得：2=-(n-3)，解得：n=1， ∴反比例函数解析式为y=-． ??2 解方程组{ ??=-2??，??=-??， 2 得{ ??1=-1，??2=1， { ??1=2，??2=-2， ∴点A的坐标为(1，-2)． (2)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠CPD=90°，∠DCP=∠BAP， 即∠DCP=∠OAE．∵AB⊥x轴， 中学教育 中学教育 ∴∠AEO=∠CPD=90°， ∴△CPD∽△AEO． (3)∵点A的坐标为(1，-2)， ∴AE=2，OE=1，AO=√????2+????2=√5． ∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE， ∴sin∠CDB=sin∠AOE=????=5=√???? 22√5． 5 10．[2019·自贡]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，-3)两点，与x轴交于点C． ???? (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标； (3)直接写出当y1>y2时，x的取值范围． 解：(1)将A(3，5)的坐标代入y2=得，5=， ?? 3 ?? ?? ∴m=15． ∴反比例函数的解析式为y2=． ??15 当y2=-3时，-3=，∴x=-5， ?? 15 ∴点B的坐标为(-5，-3)． 将A(3，5)，B(-5，-3)的坐标代入y1=kx+b得， 3??+??=5，??=1， {解得{ -5??+??=-3，??=2．∴一次函数的解析式为y1=x+2． (2)令y1=0，则x+2=0，解得x=-2． 中学教育