3.2立体几何中的向量方法(1)

(4) 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

例2.用向量方法证明

定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 已知:直线l与m相交, l??,m??,l∥?,m∥?求证:?∥?

证明 取l,m的方向向量a,b;取?,?的法向量u,v.

l∥?,m∥? ?a?v,b?v

又a,b不共线,所以v是?的一个法向量 于是v同时是?、?的一个法向量

? ?∥?

【设计意图】:突出直线的方向向量和法向量的作用,用向量证明有关结论的重要工具. 例3 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点, 求证:PA//平面EDB.

解:法一: 如图所示建立空间直角坐标系,

z 点D为坐标原点,设DC=1连结AC,AC交BD于点G,连结EG P 11A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,,)

2211PA?(1,0,?1),EG?(,0,?)

22

ED C y 所以PA?2EG,即PA//EG

A 而EG?平面EDB,且PA?平面EDBB

x B 所以,PA//平面EDB

法二 :建系同上

11PA?(1,0,?1),DE?(0,,)DB=(1,1,0)

22设平面EDB的法向量为n?(x,y,1)

1?1y??0??n??1, ?1, 1??PA?n?0?PA?n而PA?平面EDB则n?DE, n?DB于是?22??x?y?0

所以,PA//平面EDB

法三:建系同上

5

设PA?xDE?yDB解得 x=-2,y=1

即PA??2DE?DB于是PA、 DE、 DB共面而PA?平面EDB所以,PA//平面EDB

【设计意图】:利用空间向量解决立体几何中的平行问题

(1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量,但要注意说明这两条直线不共线.

(2)证明线面平行的方法

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,但要说明直线不在平面内. ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 共线,也要说明直线不在平面内.

③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.

例4如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2. (1)求证:A1C⊥平面BCDE;

(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;

(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由

解:(1)

CD?DE,A1E?DE

?DE?平面A1CD,

AC?平面A1CD, 1?DE ?AC1又A1C?CD, ?平面BCDE。 ?AC1(2)如图建系C?xyz,则D??2,0,0?,A0,0,23,B?0,3,0?,E??2,2,0?

∴A1B?0,3,?23,A1E???2,?1,0? 设平面A1BE法向量为n??x,y,z?

????zA1 (0,0,23)ME (-2,2,0)yB (0,3,0) D (-2,0,0)C (0,0,0)x6

?3z?y????3y?23z?0??A1B?n?02 则? ∴? ∴?????2x?y?0?x??y?A1E?n?0??2∴n??1,2,3 又∵M?1,0,3 ∴CM??1,0,3 ∴cos??CM?n1?342???

2|CM|?|n|1?4?3?1?32?22,

??????∴CM与平面A1BE所成角的大小45?。

(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为?0,a,0?,则a??0,3?

则A1P?0,a,?23,DP??2,a,0? 设平面A1DP法向量为n1??x1,y1,z1??3z?ay???ay1?23z1?0?161则? ∴? ??x??1ay?2x1?ay1?011??2??

∴n1??3a,6,3a??。

假设平面A1DP与平面A1BE垂直,

则n1?n?0,∴3a?12?3a?0,6a??12,a??2,

∵0?a?3,∴不存在线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直。

【设计意图】:运用向量数量积判断向量的共线与垂直,用向量证明线线、线面、面面的垂直,尤其是用向量法来解决垂直问题相比一作二证三算法要方便了许多.

六、【课堂小结】

用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.

七、【布置作业】

必做题:1. 设 a,b分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1) a?(2,?1,?2),b?(6,?3,?6);(2) a?(1,2,?2),b?(?2,3,2);(3) a?(0,0,1),b?(0,0,?3).

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2.设 u,v分别是平面?,?的法向量,根据下列条件,判断?,?的位置关系.

(1) u?(?2,2,5),v?(6,?4,4);(2) u?(1,2,?2),v?(?2,?4,4); (3) u?(2,?3,5),v?(?3,1,?4).3.设平面?的法向量为(1,2,-2,平面?的法向量为(?2,?4,k),若?∥?,则k?____; )若?⊥?,则k?_______.

4.已知 l∥? ,且l的方向向量为(2,m,1),平面?的法向量为(1,,2),则m=___. 5.若l的方向向量为(2,1,m),平面?的法向量为(1,,2),且l⊥?,则m?_______. 选做题:

用向量法证明:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

1212八、【教后反思】

1.本教案的亮点是:①知识结构清晰,直观简明;②知识梳理强化了学生对于利用空间向量表示平行或垂直时,直线的方向向量与平面的法向量之间的关系,便于学生的理解记忆;③例题选择有代表性,紧扣课本,链接高考,知识的重点、难点体现较好,通过讲练结合,大大提高学生的学习效率;④对解题方法的总结比较好,便于学生系统的运用所学知识解决具体问题.

2.本教案的弱项是:内容多,个别学生接受起来吃力.

九、板书设计

3.2 立体几何中的向量方法 平行关系: 垂直关系: 夹角: 例1: 例2: 例3: 例4:

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