3.2 立体几何中的向量方法（1）
一、【教学目标】
重点：直线的方向向量和平面的法向量． 难点：求平面的法向量． 知识点：．会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系．
能力点：．从应用其证明空间线面的平行与垂直问题中体会直线的方向向量与平面的法向量在解决立体几何中线面平行与垂直问题时的作用．从而树立学好用好向量法解决立体几何问题的兴趣和信心．
教育点：通过合作学习，学生间、师生间的相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，逐步养成质疑的科学精神．
自主探究点：学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论，强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．
考试点：能用向量方法证明线面的平行或垂直． 易错易混点：直线的方向向量与平面的法向量确定. 拓展点：链接高考．
二、【引入新课】
复习回顾 前面,我们把
1．共线向量定理：
对空间任意两个向量a,b(b?0),a//b的充要条件是存在实数?，使a??b（?唯一）． 2．共面向量定理：
如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使p?xa?yb． 【设计意图】：为新课做好知识、思想准备．
平面向量 推广到 研空间向量 究 向量 渐渐成为重要工具 立体几何问题 (研究的基本对象是点、直线、平面以及由 它们组成的空间图形) 三、【探究新知】
1．类比理解，温故知新
为了运用向量法解决立体几何问题，首先要明确空间的点、线、面的位置是否可以用向量来确定？想一想平面内点、线的位置可以由向量来唯一确定吗？你能利用类比的方法，相应地得出空间点、线、面的位置也可以由向量来唯一确定的结论吗？请阅读课本第102页---第103页探究上方的内容，考下面问题： （1）如何确定一个点在空间的位置？
（2）在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？ （3）给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
1
（4）给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？ 2．生成概念，提升能力 （1）点的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，空间任一点P的位置可用向量OP表示，故OP 为点P的位置向量． （2）直线方向向量
P空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．对于直线l上的一点P，存在实数t使得AP?tAB.
O此方程称为直线的向量参数方程.这样点A和向量 a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体写出l上的任意一点.
OP?OA?ta
OP?xOA?yOB (x?y?1)
（3）平面的法向量
空间中平面?的位置可以由?内两条相交直线来确定. 对于平面?上的任一点P,存在有序实数对(x,y)，使得
aBAlPOP?xa?yb.
b不仅可以确定平面?的位置，还 这样，点O与向量a 、可以具体表示出?内的任意一点，除此之外，还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置．
平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线 垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作n⊥?，如 果n⊥?，那么向量n叫做平面?的法向量.
nbP ?O aln?给定一点A和一个向量n，那么过点A，以向量n为法向量的平面是完全确定的. 几点注意：
（1）法向量一定是非零向量；
（2）一个平面的所有法向量都互相平行；
（3）向量 n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有n?m?0．
2
四、【理解新知】
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系． 1．平行关系
(1) 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b，平面?、?的法向量分别为 u,v，则
a? l u? au? ? l bm ?v? 线
线
平
行
? l//m?a//b?a?kb ;
线面平行 l//??a?u?a?u?0 ;面面平行?//??u//v?u?kv .
(2) 设直线 l 的方向向量为 a?(a1,b1,c1)，平面?的法向量为 u?(a2,b2,c2)，则
l//??a?u?0?a1a2?bb12?c1c2?0.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. 2．垂直关系
(1) 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b，平面?、?的法向量分别为 u,v，则
l a? u aluvlm
A C ? B ?
线线垂直 l?m?a?b?a? b0? ;线面垂直 l???a//u?a?k ;u面面垂直
????u?v?u v?0. 3
(2) 设直线 l 的方向向量为 a?(a1,b1,c1)，平面?的法向量为 u?(a2,b2,c2)，则
l???a//u?a?ku?a1?ka2,b1?kb2,c1?kc2.
aa12,b2,c2?0， a//u?a?b1?c1. 2b2c23．夹角
设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b，平面?、?的法向量分别为 u,v，则
（1）异面直线l,m所成的角为?(0????2)cos??a?bab
(2) 直线 l与平面? 所成的角为? (0?????u2)，sin??aau
(3) 二面角?-l-?的大小为? (0????)，cos??u?vuv
【设计意图】：总结规律，得出一般性结论．
五、【运用新知】
例1.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,0),B(0,4,0)C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量. 解:设出平面的法向量为 n?(x,y,z) ; 则n?AB，n?AC.
AB=(-3,4,0),AC=(-3,0,2)
?∴??(x,y,z)?(?3,4,0)?0??3x?y?3x?(x,y,z)?(?3,0,2)?0即?4y?0∴????3x?2z?0?4?3
??z?2x取x?4,则n=(4,3,6)
∴n?(4,3,6)是平面ABC的一个法向量. 【设计意图】：明确如何求平面的法向量？
(1) 设出平面的法向量为 n?(x,y,z) ;
(2) 找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标 a?(a1,b1,c1)， b?(a2,b2,c2) ;(3) 根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组???n?a?0 ;
??n?b?0
4