由余弦定理,得BC=AB+AC-2·AB·AC·cos 60°=25+64-2×5×8×=49,∴BC=7.
222
16.(2015·天津·理T13)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3
,b-c=2,cos A=-,则a的值为 .
【答案】8
【解析】∵S△ABC=bcsin A=bc
bc×
=3
,∴bc=24.又b-c=2,
∴a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×=4+2×24+×24=64.
∵a为△ABC的边,∴a=8.
17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=【答案】2
【解析】∠C=60°,根据正弦定理,得
,所以AC=
=2.
,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .
18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=【答案】
,A=45°,C=75°,则BC=___________.
【解析】B=60°,由正弦定理,得,得BC=.
19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=,3sin A=2sin B,则
c= . 【答案】4
【解析】由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b, 又a=2,所以b=3. 由余弦定理可得c=
=4.
20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .
【答案】1
【解析】在△ABC中,由正弦定理,得
=2cos A·=2cos A×
cos A,
再根据余弦定理,得cos A=,
所以=1.
21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为 . 【答案】
【解析】由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c. ∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc. 由余弦定理,得cos A=
.
∴sin A=.
由b+c-bc=4,得b+c=4+bc. ∵b+c≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4. ∴S△ABC=bc·sin A≤
,即(S△ABC)max=
.
2
2
2222
22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.
【答案】150
【解析】在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,
所以AC=100 m.在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得,
于是MA==100(m).
在Rt△MNA中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100=150(m),即山高MN=150 m.
23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=【答案】2
,则AB+2BC的最大值为___________.
【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得=2,则c=2sin C,a=2sin A,且A+C=120°,
AB+2BC=c+2a
=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C) =2sin C+4
=4sin C+2
cos C
=2sin(C+φ).
故当C+φ=90°时,AB+2BC取最大值2.
24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为 . 【答案】
【解析】在△ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即BC2+5BC-24=0, 解得BC=3或BC=-8(舍去).
S△ABC=·AB·BC·sin 120°=×5×3×
.
25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-,
则∠BAC= . 【答案】60°
【解析】由S△ADC=×2×DC×=3-,解得DC=2(-1),
则BD=-1,BC=3(-1).
-1)2-2×2×(-1)]-2×2×2(
2
∵在△ABD中,AB2=4+(在△ACD中,AC=4+[2(
2
-1)×cos 120°=6,∴AB=-1)×cos 60°=24-12
. ,∴AC=
-1).
则cos∠BAC=
=,
∴∠BAC=60°.
26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=BD=___________. 【答案】2+
a,BD=k,DC=2k,在三角形ABD与三角形ADC中由余弦定理,
,∠ADB=135°.若AC=
AB,则
【解析】依据题意作出图形,如图,设AB=a,AC=有
所以k2-4k-1=0,所以k=2+
.
三、计算题
1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)=sinA-sin Bsin C. (1)求A; (2)若
a+b=2c,求sin C.
2
2
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.