第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
作者：不详 文章来源：本站收集
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为 V2 = HA （1）
p2= p1
经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2??(H??H)A （2）
p2V2 （3）
V2??? p2渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为 式中
V1??V1??HA
（4） （5）
??2?gΔHp1?p2为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程pV?nRT可知，经过2小时，薄膜下
部增加的空气的摩尔数
?n??V1?p1V1p1 ?RTRT（6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数 N??nNA 式中NA为阿伏伽德罗常量．
（7）
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了p ?p?ΔnRT V0（8）
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
??p0??p p0（9）
测试过程的平均压强差
?p?1??p1?)? ?(p0?p1)?(p02（10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
k?Nd?ptS?2.4?1011Pa?1m?1s?1 （11）
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．
二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角的夹角
2
1
，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC．
因卫星椭圆轨道长轴的长度
AB?r近＋r远
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
mv近r近＝mv远r远 (2)
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
1GMm1GMm22mv－?mv－ (3) A O ?1 B
2近r2远近r远已知
r3GM近＝2R， v近＝4R 得r远?6R
(4) 所以AB?2R?6R?8R (5)
在△ABC中用正弦定理 sin?1?π??1??2?BC?sinAB (6)
所以BC?sin??1sin?AB
1??2?(7)
地心与星体之间的距离为OC，在△BOC中用余弦定理
OC2?r22远?BC?2r远?BCcos?2 由式(4)、(5)、(7)得
OC?2R9?16sin2?1sin?1cos?2sin2??241??2??sin??(9)
1??2?评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分，
C
式6分． (8)
(9)
三、因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命
??2.0?10?6s
0根据时间膨胀效应，在地球上观测到的子平均寿命为
，
???01??vc?2 (1)
代入数据得 = 1.4×10－5s
(2)
相对地面，若子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的
N?t??N?0?e?t? (3)
根据题意有 N?t?N?0??e?t??5% (4)
对上式等号两边取e为底的对数得
t???ln5100 代入数据得
t?4.19?10?5s
(6)
根据题意，可以把子的运动看作匀速直线运动，有
h?vt
(7)
代入数据得 h?1.24?104m
(8)
子数为
(5)