专题32递推数列
【学习目标】
了解递推公式是给出数列的一种方法，掌握几种简单的将递推数列问题转化化归为特殊数列(等差数列、等比数列等)的方法与途径，从而培养并提升学生的转化化归思想和能力． 【知识要点】
1．递推数列的概念
如果已知数列{an}的第1项(或前k项)，且任一项an与它的前一项(或前若干项)间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的______________；由递推公式确定的数列叫做递推数列．
2．已知数列的递推关系求通项
一般有三种途径：一是归纳、猜想，二是转化化归为等差、等比数列；三是逐项迭代． 【方法总结】
递推数列求通项的特征归纳： (1)累加法：an＋1－an＝f(n). an＋1(2)累乘法：＝f(n).
an
(3)化归法：(常见)an＋1＝Aan＋B(A≠0，A≠1)?an＋1＋λ＝A(an＋λ)；an＋2＝pan＋1＋qan?an＋2＋λan＋1
＝(p＋λ)·(an＋1＋λan)；an＋1＝pan＋p
n＋1
?
an＋1an
n＋1＝n＋1. pp
(4)归纳法：计算a2，a3，a4呈现关于项数2，3，4的规律特征. (5)迭代法：an＋1＝pan或an＋1＝an或an＋1＝pan＋f(n)等.
【高考模拟】一、单选题
p
1．已知数列满足，若
，
恒成立，则的最小值为（ ）
，，
A． 0 B． 1 C． 2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】
1
由
相消法可得结果. 【详解】
，可得，利用裂项
由题意知，，由，
得，
，
恒成立，
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
；（4）
；（2）
； （3）
；此外，需注意裂
，故最小值为，故选D.
项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 2．（2017·保定市一模）已知函数
是定义在上的奇函数，当
时，
，若数列
满足
，且，则（ ）
A． 2 B． -2 C． 6 D． -6 【答案】C 【解析】 【分析】
是周期数列且周期为，因此
，利用题设的函数解析式可求函数值．
2
【点睛】
（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）． （2）对于奇函数为
3．已知数列A． 数列
）．
的前项和为的前项和为
，且满足 B． 数列
的通项公式为
，则下列说法正确的是（ ）
（或偶函数），若已知
的解析式，则当
的时的解析为
（偶函数时
C． 数列【答案】C 【解析】 【分析】
为递增数列 D． 数列是递增数列
方法一：根据数列的递推公式可得{}是以5为首项，以5为等差的等差数列，可得Sn=，
an=，即可判断，
3
方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣
，故D错误，
【详解】
方法一：∵an+5Sn﹣1Sn=0， ∴Sn﹣Sn﹣1+5Sn﹣1Sn=0， ∵Sn≠0，
∴﹣=5，
∵a1=，
∴=5，
∴{}是以5为首项，以5为等差的等差数列，
∴=5+5（n﹣1）=5n，
∴Sn=，
当n=1时，a1=， 当n≥2时， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=
﹣
=
，
∴an=
，
故只有C正确，
方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误， 当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D错误，
故选：C． 【点睛】
4