河南省2018年中考数学试卷及答案解析

(2)连接AF并延长,交⊙O于点G.填空:

①当∠D的度数为 30° 时,四边形ECFG为菱形; ②当∠D的度数为 ° 时,四边形ECOG为正方形.

【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得∠1+∠4=90°,再利用等腰三角形和互余证明∠1=∠2,然后根据等腰三角形的判定定理得到结论;

(2)①当∠D=30°时,∠DAO=60°,证明△CEF和△FEG都为等边三角形,从而得到EF=FG=GE=CE=CF,则可判断四边形ECFG为菱形;

②当∠D=°时,∠DAO=°,利用三角形内角和计算出∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,则∠COG=90°,接着证明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°,从而证明四边形ECOG为矩形,然后进一步证明四边形ECOG为正方形. 【解答】(1)证明:连接OC,如图, ∵CE为切线, ∴OC⊥CE,

∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°, ∵DO⊥AB, ∴∠3+∠B=90°, 而∠2=∠3, ∴∠2+∠B=90°, 而OB=OC, ∴∠4=∠B, ∴∠1=∠2, ∴CE=FE;

(2)解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°, 而AB为直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠B=30°, ∴∠3=∠2=60°, 而CE=FE,

∴△CEF为等边三角形, ∴CE=CF=EF,

同理可得∠GFE=60°, 利用对称得FG=FC, ∵FG=EF,

∴△FEG为等边三角形, ∴EG=FG, ∴EF=FG=GE=CE, ∴四边形ECFG为菱形; ②当∠D=°时,∠DAO=°, 而OA=OC,

∴∠OCA=∠OAC=°,

∴∠AOC=180°﹣°﹣°=45°, ∴∠AOC=45°, ∴∠COE=45°,

利用对称得∠EOG=45°, ∴∠COG=90°, 易得△OEC≌△OEG, ∴∠OEG=∠OCE=90°, ∴四边形ECOG为矩形, 而OC=OG,

∴四边形ECOG为正方形. 故答案为30°,°.

【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了菱形和正方形的判定.

20.(9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低

两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.

如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm,参考数据°≈,°≈,°≈,°≈,°≈,°≈)

【分析】利用锐角三角函数,在Rt△ACE和Rt△DBF中,分别求出AE、BF的长.计算出EF.通过矩形CEFH得到CH的长. 【解答】解:在Rt△ACE中, ∵tan∠CAE=, ∴AE==≈≈21(cm) 在Rt△DBF中, ∵tan∠DBF=, ∴BF==≈=40(cm)

∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151(cm) ∵CE⊥EF,CH⊥DF,DF⊥EF ∴四边形CEFH是矩形, ∴CH=EF=151cm

答:高、低杠间的水平距离CH的长为151cm.

【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形.题目难度不大,注意精确度.

21.(10分)某公司推出一款产品,经市场调查发现,该产品的日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系关于销售单价,日销售量,日销售利润的几组对应值如表: 销售单价x(元) 日销售量y(个)

85 175

95 125

105 75

115 m

日销售利润w(元) 875 1875 1875 875

(注:日销售利润=日销售量×(销售单价﹣成本单价))

(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出x的取值范围)及m的值; (2)根据以上信息,填空:

该产品的成本单价是 80 元,当销售单价x= 100 元时,日销售利润w最大,最大值是 2000 元;

(3)公司计划开展科技创新,以降低该产品的成本,预计在今后的销售中,日销售量与销售单价仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时,日销售利润不低于3750元的销售目标,该产品的成本单价应不超过多少元? 【分析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式; (2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得生产成本和w的最大值; (3)根据题意可以列出相应的不等式,从而可以取得科技创新后的成本. 【解答】解;(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b, ,得,

即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600, 当x=115时,y=﹣5×115+600=25, 即m的值是25;

(2)设成本为a元/个,

当x=85时,875=175×(85﹣a),得a=80,

w=(﹣5x+600)(x﹣80)=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5(x﹣100)2+2000, ∴当x=100时,w取得最大值,此时w=2000, 故答案为:80,100,2000; (3)设科技创新后成本为b元, 当x=90时,

(﹣5×90+600)(90﹣b)≥3750, 解得,b≤65,

答:该产品的成本单价应不超过65元.

【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和数形结合的思想

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