2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
?r?n,有唯一解r(A)?r(A)?r②解的存在定理：AX??有解?． ?r?n,有无穷多解?③解的性质
1）AX??的两个解?，?的差???是其导出组AX?0的解．
2）AX??的一个解?0与其导出组AX?0的一个解?的和?0??是AX??的解．
④通解：若?0是AX??的一个特解，?1,?2,?,?t是其导出组AX?0的一个基础解系，则
AX??的通解为???0?k1?1???kt?t,k1,k2,?,kt?R．
9．熟练掌握线性方程组的解法．
①齐次线性方程组AX?0的解法（步骤） 1）对系数矩阵A作初等行变换化为标准形； 2）确定r(A)及基础解系中向量个数n?r(A)； 3）确认主变量与自由未知量；
4）每次只给一个自由未知量赋值1，其余自由未知量为0，代入求解，得基础解系?1，?2， ?，?t；5）得通解：??k1?1???kt?t,ki?R,i?1,2,?,t． ②齐次线性方程组AX??的解法（步骤） 1）对增广矩阵A作初等行变换化为标准行；
2）求导出组AX?0的一个基础解系?1，?2，?，?t； 3）求AX??的一个特解?0；
4）按解的结构写出通解：???0?k1?1???kt?t,ki?R,i?1,2,?,t．
?x1?x2?x3?x4?x5?0x?x?2x?4x?0?1234?3x?2x?x?x?3x?0??12345例6-9 求通解：（1）?3x1?x2?6x3?2x4?0；（2）?．
??x?2x?2x?x?0?x2?2x3?2x4?6x5?0234?1??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0解：（1）
?1124??1124??1124??102?1??1020????0?20?10???0105???0105???0100?
A??3162??????????????12?21????0305????000?10????0001???0001???x1??2x3?TT同解方程组为?x2?0，所以基础解系为??(?2,0,1,0),通解为??c(?2,0,1,0)．
?x?0?4（2）
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2010年长江师范学院专升本考试《高等数学》复习资料 陈强编
?1?3A???0??51214112311??11111??0?1?2?2?6?1?3???????10?1?1?5?．
?26??01226???01226????3?1??0?1?2?2?6??x1?x3?x4?x5同解方程组为?，所以基础解系为?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T．
x??2x?2x?6x345?2因此通解为??C1?1?C2?2?C3?3，其中C1,C2,C3为任意常数．
②非齐次线性方程组的解法：1)求出其导出组的基础解系?1，?2，?，?t；2)求出其一个特解?0； 3)一般解为???0?l1?1???lt?t．
?x1?x2?x3?x4?0?例6-10 求解方程组 ?x1?x2?x3?3x4?1．
?x?x?2x?3x??1234?120?1?110?10?112??1?1?11??????，
解：A?1?11?31?002?41?001?212???????1?1?23?12??00?12?12??00000????????2?r11?rr3?r1?r2?0.5r3?r2?1?r1?r2?x1?x2?x4?12R(A)?R(A)可见，方程组有解，并有 ?．
x?2x?124?3?取x2?x4?0，则 x1?x3?12，即得原方程组的一个特解?0?(12,0,12,0)．
下面求导出组的基础解系：
?x1?x2?x4导出组与 ? 同解．
x?2x4?3取x2?1,x4=0，得?1?(1,1,0,0)； 取x2?0,x4=1，得?2?(1,0,2,1)． 于是原方程组的通解为
???k1?1?k,0?2?2(、k1 k?．R2)?2x1?x2?3x3?x4?1?3x?2x?2x?3x?3?1234例6-11 求解方程组 ?．
x?x?5x?4x?234?12??7x1?5x2?9x3?10x4?82??108?5?1??2?13?11??1?1?54?3?2?233??0113?9?3??0113?9?3???????? 解：A???1?1?542??0113?9?3??00000????????7?5?9108??0226?18?6??00000?- 50 -